1．（本題滿分12分）
已知函式的圖象如圖所示．
（i）求的值；
（ii）若函式在處的切線方程為，求函式的解析式；
（iii）在（ii）的條件下，函式與的圖象有三個不同的交點，求的取值範圍．
2．（本小題滿分12分）
已知函式．
（i）求函式的單調區間；
（ii）函式的圖象的在處切線的斜率為若函式在區間（1，3）上不是單調函式，求m的取值範圍．
3．（本小題滿分14分）
已知函式的圖象經過座標原點，且在處取得極大值．
（i）求實數的取值範圍；
（ii）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；
（iii）對於（ii）中的函式，對任意，求證：．
4．（本小題滿分12分）
已知常數，為自然對數的底數，函式，．
（i）寫出的單調遞增區間，並證明；
（ii）討論函式在區間上零點的個數．
5．（本小題滿分14分）
已知函式．
（i）當時，求函式的最大值；
（ii）若函式沒有零點，求實數的取值範圍；
6．（本小題滿分12分）
已知是函式的乙個極值點（）．
（i）求實數的值；
（ii）求函式在的最大值和最小值．
7．（本小題滿分14分）
已知函式
（i）當a=18時，求函式的單調區間；
（ii）求函式在區間上的最小值．
8．（本小題滿分12分）
已知函式在上不具有單調性．
（i）求實數的取值範圍；
（ii）若是的導函式，設，試證明：對任意兩個不相等正數，不等式恆成立．
9．（本小題滿分12分）
已知函式
（i）討論函式的單調性；
（ii）證明：若
10．（本小題滿分14分）
已知函式．
（i）若函式在區間上都是單調函式且它們的單調性相同，求實數的取值範圍；
（ii）若，設，求證：當時，不等式成立．
11．（本小題滿分12分）
設曲線：（），表示導函式．
（i）求函式的極值；
（ii）對於曲線上的不同兩點，，，求證：存在唯一的，使直線的斜率等於．
12．（本小題滿分14分）
定義，（i）令函式，寫出函式的定義域；
（ii）令函式的圖象為曲線c，若存在實數b使得曲線c在處有斜率為－8的切線，求實數的取值範圍；
（iii）當且時，求證．
導數練習題答案
1．（本題滿分12分）
已知函式的圖象如圖所示．
（i）求的值；
（ii）若函式在處的切線方程為，求函式的解析式；
（iii）在（ii）的條件下，函式與的圖象有三個不同的交點，求的取值範圍．
解：函式的導函式為2分）
（i）由圖可知函式的圖象過點（0，3），且
得4分）
（ii）依題意且
解得所以8分）
（iii）．可轉化為：有三個不等實根，即：與軸有三個交點
，10分）
當且僅當時，有三個交點，
故而，為所求12分）
2．（本小題滿分12分）
已知函式．
（i）求函式的單調區間；
（ii）函式的圖象的在處切線的斜率為若函式在區間（1，3）上不是單調函式，求m的取值範圍．
解：（i2分）噹噹
當a=1時，不是單調函式 （5分）
（ii）
（6分）
（8分）（10分） （12分）
3．（本小題滿分14分）
已知函式的圖象經過座標原點，且在處取得極大值．
（i）求實數的取值範圍；
（ii）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；
（iii）對於（ii）中的函式，對任意，求證：．
解：（i）
由，因為當時取得極大值，
所以，所以；
…………（4分）
（ii）由下表：
依題意得：，解得：
所以函式的解析式是：
…………（10分）
（iii）對任意的實數都有
在區間[-2，2]有：
函式上的最大值與最小值的差等於81，
所以．…………（14分）
4．（本小題滿分12分）
已知常數，為自然對數的底數，函式，．
（i）寫出的單調遞增區間，並證明；
（ii）討論函式在區間上零點的個數．
解：（i），得的單調遞增區間是， …………（2分）
∵，∴，∴，即． …………（4分）
（ii），由，得，列表
當時，函式取極小值，無極大值．
6分）由（i），∵，∴，∴
8分）（i）當，即時，函式在區間不存在零點
（ii）當，即時
若，即時，函式在區間不存在零點
若，即時，函式在區間存在乙個零點；
若，即時，函式在區間存在兩個零點；
綜上所述，在上，我們有結論：
當時，函式無零點；
當時，函式有乙個零點；
當時，函式有兩個零點．
12分）
5．（本小題滿分14分）
已知函式．
（i）當時，求函式的最大值；
（ii）若函式沒有零點，求實數的取值範圍；
解：（i）當時，
定義域為（1，+），令2分）
∵當，當，
∴內是增函式，上是減函式
∴當時，取最大值4分）
（ii）①當，函式圖象與函式圖象有公共點，
∴函式有零點，不合要求8分）
②當6分）
令，∵ ，
∴內是增函式，上是減函式，
∴的最大值是，
∵函式沒有零點，∴，，
因此，若函式沒有零點，則實數的取值範圍．………………（10分）
6．（本小題滿分12分）
已知是函式的乙個極值點（）．
（i）求實數的值；
（ii）求函式在的最大值和最小值．
解：（i）由可得
……（4分）
∵是函式的乙個極值點，∴
∴，解得6分）
（ii）由，得在遞增，在遞增，
由，得在在遞減
∴是在的最小值8分）
， ∵∴在的最大值是12分）
7．（本小題滿分14分）
已知函式
（i）當a=18時，求函式的單調區間；
（ii）求函式在區間上的最小值．
解：（ⅰ），
2分 由得，解得或
注意到，所以函式的單調遞增區間是（4，+∞）
由得，解得-2＜＜4，
注意到，所以函式的單調遞減區間是.
綜上所述，函式的單調增區間是（4，+∞），單調減區間是 6分
（ⅱ）在時，
所以，設當時，有△=16+4×2，
此時，所以，在上單調遞增，
所以8分
當時，△=，
令，即，解得或；
令，即， 解得.
①若≥，即≥時，
在區間單調遞減，所以.
②若，即時間，
在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以.③若≤，即≤2時，在區間單調遞增，
所以綜上所述，當≥2時，；
當時，；
當≤時， 14分
8．（本小題滿分12分）
已知函式在上不具有單調性．
（i）求實數的取值範圍；
（ii）若是的導函式，設，試證明：對任意兩個不相等正數，不等式恆成立．
解：（i2分）
∵在上不具有單調性，∴在上有正也有負也有0，
即二次函式在上有零點4分）
∵是對稱軸是，開口向上的拋物線，∴
的實數的取值範圍6分）
（ii）由（i），
方法1：，
∵，∴，…………（8分）
設， 在是減函式，在增函式，當時，取最小值
∴從而，∴，函式是增函式，
是兩個不相等正數，不妨設，則
∴，∵，∴
∴，即12分）
方法2：、是曲線上任意兩相異點，
，， ………（8分）
設，令，，
由，得由得
在上是減函式，在上是增函式，
在處取極小值，，∴所以
即12分）
9．（本小題滿分12分）
已知函式
（i）討論函式的單調性；
（ii）證明：若
（1）的定義域為，
2分（i）若，則故在單調增加．
（ii）若
單調減少，在（0，a-1），
單調增加．
（iii）若
單調增加．
（ii）考慮函式
由由於，從而當時有
故，當時，有
10．（本小題滿分14分）
已知函式．
（i）若函式在區間上都是單調函式且它們的單調性相同，求實數的取值範圍；
（ii）若，設，求證：當時，不等式成立．
解：（i2分）
∵函式在區間上都是單調函式且它們的單調性相同，
∴當時，恆成立4分）
即恆成立，
∴在時恆成立，或在時恆成立，
∵，∴或6分）
（ii），
∵定義域是，，即
∴在是增函式，在實際減函式，在是增函式
∴當時，取極大值，
當時，取極小值8分）
10分）
設，則，
∴，∵，∴
∴在是增函式，∴
∴在也是增函式12分）
∴，即，
而，∴∴當時，不等式成立14分）
11．（本小題滿分12分）
設曲線：（），表示導函式．
（i）求函式的極值；
（ii）對於曲線上的不同兩點，，，求證：存在唯一的，使直線的斜率等於．
解：（i），得
當變化時，與變化情況如下表：
∴當時，取得極大值，沒有極小值4分）
（ii）（方法1）∵，∴，∴
即，設，，是的增函式，
∵，∴；
，，是的增函式，
∵，∴，
∴函式在內有零點10分）
又∵，函式在是增函式，
∴函式在內有唯一零點，命題成立…………（12分）
導數練習題
一 選擇題 1.2009 崇文模擬 已知f x 的定義域為r，f x 的導函式的圖象如圖所示，則 在x 1處取得極小值 在x 1處取得極大值 是r上的增函式 是 1 上的減函式，1，上的增函式 2.函式f x 的定義域為開區間 a,b 導函式在 a,b 內的圖象如圖所示,則函式f x 在開區間 a,...
高考經典練習題導數
導數2013年高考題 一 選 填題 1 2013年高考湖北卷 理 已知為常數,函式有兩個極值點,則 a b c d 2 2013年普通高等學校招生統一考試新課標 卷數學 理 已知函式,下列結論中錯誤的是 a r,b 函式的影象是中心對稱圖形 c 若是的極小值點,則在區間上單調遞減 d 若是的極值點,...
導數經典練習題及答案
1 設函式f x 在處可導，則等於 a b c d 2 若，則等於 a b c 3 d 2 3 若函式f x 的導數為f x sinx，則函式影象在點 4，f 4 處的切線的傾斜角為 a 90 b 0 c 銳角 d 鈍角 4 對任意x，有，f 1 1，則此函式為 a b c d 5 設f x 在處可...