一、選擇題
1.(2009·崇文模擬)已知f（x）的定義域為r，f（x）的導函式的圖象如圖所示，則
在x=1處取得極小值
在x=1處取得極大值
是r上的增函式
是（-∞，1）上的減函式，（1，+∞）上的增函式
2.函式f(x)的定義域為開區間(a,b),導函式在(a,b)內的圖象如圖所示,則函式f(x)在開區間(a,b)內有極小值點
a.1個b.2個
c.3個d.4個
3.函式f(x)=x2-2ax+a在區間（-∞，1）上有最小值，則函式g(x)=在區間（1，+∞）上一定 （ ）
a.有最小值 b.有最大值 c.是減函式 d.是增函式
答案 d
4.用邊長為48 cm的正方形鐵皮做乙個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去乙個面積相等的小正方形，然後把四邊折起，就能焊接成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為（ ）
a.6b.8c.10d.12
答案 b
5.已知f(x)=2x3-6x2+a (a是常數）在［-2，2］上有最大值3，那麼在［-2，2］上f(x）的最小值是
a.-5b.-11c.-29d.-37
答案 d
6.已知函式f(x)= x4-2x3+3m,x∈r,若f(x)+9≥0恆成立,則實數m的取值範圍是
答案 a
二、填空題
7.已知函式f(x)=x3-12x+8在區間［-3，3］上的最大值與最小值分別為m，m，則m-m
答案 32
8.（2008·淮北模擬）已知函式f(x)的導數=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a處取到極大值，則a的取值範圍是 .
答案 （-1，0）
三、解答題
9.設a＞0,函式f(x)=,b為常數.
（1）證明：函式f(x)的極大值點和極小值點各有乙個；
（2）若函式f(x）的極大值為1，極小值為-1，試求a的值.
（1）證明=
令=0,得ax2+2bx-a=0 (*)
∵δ=4b2+4a2>0,
∴方程（*)有兩個不相等的實根，記為x1,x2(x1則=,
當x變化時，與f(x）的變化情況如下表：
可見，f(x)的極大值點和極小值點各有乙個.
（2）解由（1）得
兩式相加，得a(x1+x2)+2b=x.
∵x1+x2=-,∴x=0,即(x2+x1)(x2-x1)=0,
又x1由②得a=2.
10.設函式f（x）=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切於點（1，-11）.
（1）求a，b的值；
（2）討論函式f（x）的單調性.
解 （1）求導得=3x2-6ax+3b.
由於f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切於點（1，-11），
所以f（1）=-11， =-12，即解得a=1，b=-3.
（2）由a=1，b=-3得
=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).
由》0,解得x<-1或x>3; 又令<0,解得-1所以當x∈(-∞,-1)和(3,+∞）時,f(x)是增函式;當x∈(-1,3)時,f(x)是減函式.
11.已知函式f(x)=x3-ax2-3x.
（1）若f(x)在區間［1，+∞）上是增函式，求實數a的取值範圍；
（2）若x=-是f(x)的極值點，求f（x）在［1，a］上的最大值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數b，使得函式g（x）=bx的圖象與函式f（x）的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的取值範圍；若不存在，試說明理由.
解 （1）=3x2-2ax-3,∵f(x)在［1，+∞）上是增函式, ∴在［1，+∞）上恒有≥0，
即3x2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恆成立.則必有≤1且=-2a≥0,∴a≤0.
(2）依題意， =0，即+a-3=0,∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x.令=3x2-8x-3=0，得x1=-，x2=3.
則當x變化時，,f(x)的變化情況如下表：
∴f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6.
（3）函式g(x)=bx的圖象與函式f(x)的圖象恰有3個交點，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3個不等實根
∴x3-4x2-3x-bx=0，∴x=0是其中乙個根，∴方程x2-4x-3-b=0有兩個非零不等實根，
∴∴存在符合條件的實數b，b的範圍為b>-7且b≠-3.
12. (2008·安徽文，20)已知函式f(x)= +(a+1)x+1，其中a為實數.
（1）已知函式f(x)在x=1處取得極值，求a的值；
（2）已知不等式》x2-x-a+1對任意a∈（0,+∞)都成立，求實數x的取值範圍.
解 （1）=ax2-3x+a+1,
由於函式f(x)在x=1處取得極值，所以=0,即a-3+a+1=0,∴a=1.
（2）由題設知:ax2-3x+a+1>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立，
即a(x2+2)-x2-2x>0對任意a∈(0,+∞)都成立.於是a>對任意a∈(0,+∞)都成立，
即≤0,∴-2≤x≤0.∴x的取值範圍是.
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