構造平行四邊形解題

平行四邊形是一種特殊的四邊形，它的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分．許多幾何問題可以通過新增輔助線，構造平行四邊形加以解決．

一、求線段的長

例１如圖1，在正△abc中，p為邊ab上一點，q為邊ac上一點，且ap=cq．今量得a點與線段pq的中點m之間的距離是19cm，則p點到c點的距離等於 cm．

分析：作qd//ab，交bc於點d，連線pd，md．由△abc為正三角形，易知bp=bd，ap=dq，所以四邊形apdq為平行四邊形．所以amd是平行四邊形apdq的對角線．所以ad=2am=2×19=38（cm）．由△abd≌△cbp可得pc=ad．所以pc=38cm．

二、證明線段相等問題

例2 如圖2，在梯形abcd中，ad//bc，ab=cd，延長cb到e，使eb=ad，連線ae．求證：ae=ac．

分析：連線bd．由ad與be平行且相等，易知四邊形aebd是平行四邊形，所以bd=ae．因為ac=bd，所以ae=ac．

三、證明線段和差問題

例3 如圖3，△abc中，d，f是ab邊上兩點，且ad=bf，作de//bc，fg//bc，分別交ac於點e，g．求證：de+fg=bc．

分析：作gh//ab交bc於點h．則四邊形bhgf是平行四邊形．所以gh=bf=ad，fg=bh．因為de//bc，gh//ab，所以∠1=∠c，∠a=∠2．所以△ade≌△ghc．所以de=hc．因為bh+ch =bc，所以de+fg=bc．

四、證明線段倍分問題

例4 如圖4，已知e為平行四邊形abcd中dc邊的延長線上一點，且ce=dc，連線ae，分別交bc，bd於點f，g，連線ac交bd於o，連線of．試說明：ab=2of．

分析：連線be．易知四邊形abec為平行四邊形．由「平行四邊形的對角線互相平分」這一性質可得bf=cf，ao=oc，所以of為△cab的中位線，從而得出ab=2of．

五、證明兩直線平行問題

例5 如圖5，△abc中，e，f分別是ab，bc邊的中點，m，n是ac的三等分點，em，fn的延長線交於點d．求證：ab//cd．

分析：連線bd交ac於點o，連線bm，bn．

由ae=be，am=mn可得ed//bn；由bf=cf，mn=nc可得bm//fd．所以四邊形bmdn是平行四邊形．所以ob=od，om=on．所以oa=oc．由此可得出四邊形abcd是平行四邊形．所以ab//cd．

六、證明兩直線垂直問題

例6如圖6，分別以△abc的邊ab，ac為一邊在三角形外作正方形abef和acgh，m為fh的中點．求證：ma⊥bc．

分析：設ma的延長線交bc於點d，延長am至點n，使mn=am，連線fn，hn．則四邊形ahnf為平行四邊形．所以fn=ah=ac，∠afn+∠fah=180°．因為∠bac+∠fah=180°，所以∠afn=∠bac．因為af=ab，所以△afn≌△bac．所以∠1=∠2．

因為∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠adb=90°．從而得出ma⊥bc．