2023年上海中學高三數學（理科）練習1（內部資料）
1．已知函式的定義域為，的定義域為，則.
2．設等差數列的公差不為0，．若是與的等比中項，則 4
3．已知兩個等差數列和的前項和分別為a和，且，則使得為整數的正整數的個數是5
4．設{}為公比q>1的等比數列，若和是方程的兩根，則_____.18
5．設f（x）＝log3（x＋6）的反函式為f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27則f（m＋n2
6．某程式框圖如圖所示，該程式執行後輸出的的值是 ( ) 輸出的．
答案：a
【解析】對於，而對於，則，後面是，不符合條件時
7．甲、乙、丙人站到共有級的台階上，若每級台階最多站人，同一級台階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是用數字作答）．答案：336
8如圖，在半徑為3的球面上有三點，，球心到平面的距離是，則兩點的球面距離是由知截面圓的半徑
，故，所以兩點的球面距離為，
9設若的最小值為
10設拋物線=2x的焦點為f，過點m（，0）的直線與拋物線相交於a，b兩點，與拋物線的準線相交於c，=2，則bcf與acf的面積之比=，
又由a、b、m三點共線有即，故，∴，故選擇a。
11在四邊形abcd中，==（1，1），，則四邊形abcd的面積是
由題知四邊形abcd是菱形，其邊長為，且對角線bd等於邊長的倍，所以，故，
12.當，不等式成立，則實數的取值範圍是11、【答案】k≤1
13．對於函式，給出下列命題：①f (x)有最小值；②當a=0時，f (x)的值域為r；③當a>0時，f (x)在區間上有反函式；④若f (x)在區間上是增函式，則實數a的取值範圍是. 上述命題中正確的是
(填上所有正確命題的序號) .
14．觀察下列等式：
由以上等式推測到乙個一般的結論：
對於答案：
15．已知定義域為r的函式在區間上為減函式，且函式為偶函式，則（ ）
a. b. c. d.
16．設向量，滿足：，，．以，，的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點個數最多為 ( ) ab． c． d．答案：c
【解析】對於半徑為1的圓有乙個位置是正好是三角形的內切圓，此時只有三個交點，對於圓的位置稍一右移或其他的變化，能實現4個交點的情況，但5個以上的交點不能實現．
17．在三稜柱中，各稜長相等，側掕垂直於底面，點是側面的中心，則與平面所成角的大小是 ( )a． b． c． d． 答案：c取bc的中點e，則面，，因此與平面所成角即為，設，則，，即有
18已知定義域為r的函式f（x）滿足，當x＞2時，f（x）單調遞增．如果且，則的值（ ）
a．可能為0 b．恆大於0 c．恆小於0 d．可正可負
19在⊿abc中，bc=，ac=3，sinc=2sina (i) 求ab的值： (ii) 求sin的值
（ⅰ）解：在△abc中，根據正弦定理，於是ab=
（ⅱ）解：在△abc中，根據餘弦定理，得cosa=於是 sina= 從而sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-sin2a= 所以 sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=
20已知是定義在上的不恒為零的函式,且對於任意的都滿足:
求的值;判斷的奇偶性，並證明你的結論;
若,求證數列是等差數列，並求的通項公式
1）令，代入得令，代入得則（2）令則因此是奇函式。（3）因為，即，所以是等差數列。又首項公差為，所以
20設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。
（i）求數列的通項公式；
（ii）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；
解：（ⅰ）當時，又
數列成等比數列，其首項，公比是
……（ⅱ）由（ⅰ）知
=又噹噹22 已知雙曲線設過點的直線l的方向向量
（1） 當直線l與雙曲線c的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l與m的距離；
（2） 證明：當》時，在雙曲線c的右支上不存在點q，使之到直線l的距離為。
.（1）雙曲線c的漸近線直線l的方程. 直線l與m的距離（2）設過原點且平行與l的直線則直線l與b的距離
當又雙曲線c的漸近線為雙曲線c的右支在直線b的右下方，雙曲線右支上的任意點到直線的距離為。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。
23已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列。
（1） 若，是否存在，有
（2） 找出所有數列和，使對一切,,並說明理由；
（3） 若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明。
．[解法一]（1）由，得， 整理後，可得，、，為整數， 不存在、，使等式成立。 （2）若，即若則。當{}為非零常數列，{}為恆等於1的常數列，滿足要求若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等於1。
此時等號左邊是常數，，矛盾。綜上所述，只有當{}為非零常數列，{}為恆等於1的常數列，滿足要求。（3） 設.
，. 取由二項展開式可得正整數m1、m2，使得（4-1）2s+2=4m1+1,
故當且僅當p=3s,sn時，命題成立.若p為偶數，則am+1+am+2+……+am+p為偶數，但3k為奇數故此等式不成立，所以，p一定為奇數。當p=1時，則am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=
當ｋ為偶數時，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立當p=3時，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,
也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知，當k-1為偶數即k為奇數時，存在m, 4m+9=3k成立 2分當p=5時，則am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍數，所以，當p=5時，所要求的m不存在故不是所有奇數都成立.
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