江蘇省華羅庚中學2023年秋學期高三文科數學自我測試（九）
一、填空題（每小題5分，共70分）
1．若（，是虛數單位），則
2.設全集若,則______
3．已知是兩個非空集合，則「」是「」的條件．
（填「充要」，「充分不必要」，「必要不充分」或「既不充分又不必要」） 充分不必要
4．已知||=3，||=4，(+)(+3)=33，則與的夾角為120
5．函式的最小正週期是_______
6．由命題「存在，使」是假命題，求得的取值範圍是，則實
數的值是1
7．函式在上零點的個數為 ．1
8．在△abc中，a，b，c是角a，b，c的對邊，若a，b，c成等比數列，
9．在等式★的括號中，填寫乙個銳角，使得等式成立，這個銳角是_______
10．已知函式．若則的最大值為7
11、 函式上單調遞減，則實數的最小值為4
12．如圖，在正方形中，已知， 為的中點，若為正方形內（含邊界）任意一點，則的最大值是
13. 已知函式，若互不相等，且則的取值範圍是8，14）
14.已知數列，滿足，，，且對任意的正整數，當時，都有，則的值是 ．2012歸納猜想：3,4,5
二、解答題（共90分）
15．（本題滿分14分） 已知函式．
（ⅰ）求函式的最小值和最小正週期；
（ⅱ）設△abc的內角a、b、c的對邊分別為a，b，c，且，若，求a，b的值．
15．解：（1）， （3分）
則的最小值是－24分）
最小正週期是6分）
（2），
，8分）
由正弦定理，得10分）
由餘弦定理，得， ②
由①②解得14分）
16、（本題滿分14分）已知且；
集合且.若∨為真命題，∧為假命題，求實數的取值範圍.
16. 解：對p：所以．
若命題p為真，則有2分
對q：∵且
∴若命題q為真，則方程無解或只有非正根．
∴或5分
∵p, q中有且只有乙個為真命題
∴ (1) p 真，q假：則有8分
(2) p 假，q 真：則有；
∴或14分
17．（本題滿分15分）已知函式，為常數且.
(1)如果在上單調遞增,求實數的取值範圍;
(2)求在上的最小值．
解答：（1）對恆成立6分
（2）由得
ⅰ）當即時
恆成立在上單調遞增
10分ⅱ）當即時
在上單調遞減，在上單調遞增
14分綜上15分
18．(本題滿分15分)已知工廠生產某種產品，次品率p與日產量x（萬件）間的關係為
，每生產1件合格產品盈利3元，每出現1件次品虧損1.5元． （i）將日盈利額y（萬元）表示為日產量（萬件）的函式；（ⅱ）為使日盈利額最大，日產量應為多少萬件?
18. 解：（ⅰ）當時，，
2分當，
5分日盈利額y（萬元）與日產量x（萬件）的函式關係為
7分（ⅱ）由（ⅰ）知，當時，日盈利額為08分
當時，，
，令得或（捨去9分
①當時， ，在區間上單調遞增，[**:學§科§網]
，此時12分
②當時，在（0，3）上，，在（3，6）上，
14分綜上，若，則當日產量為c萬件時，日盈利額最大；
若，則當日產量為3萬件時，日盈利額最大15分
19．(本題滿分16分)公差的等差數列的前項和為，已知，.
（ⅰ）求數列的通項公式及其前項和；
（ⅱ）記，若自然數滿足，並且
成等比數列，其中，求（用表示）；
（ⅲ）記，試問：在數列中是否存在三項恰好成等比數列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由.
19．解2分
所以5分
（ⅱ）由題意，，首項，又數列的公比…7分
，又10分
（ⅲ）易知，假設存在三項成等比數列，則，
即,整理得…12分
①當時，，，是
有理數，這與為無理數矛盾…………………14分
②當時,則,從而,
解得,這與矛盾.
綜上所述，不存在滿足題意的三項………………16分
20．（本題滿分16分）已知函式,其中．
(1)若,試求函式的最大值；
(2)設函式若對於任意大於等於2的實數,總存在唯一的小於2的實數,使得成立,試確定實數的取值範圍．
解答:(1)因為都是單調遞減
所以在上單調遞減
6分（2）由題意可知：值域是值域的子集
當時在上單調遞減
當時；當時9分
當時在上遞增
令單調遞增，又
12分當時
1 當時，在上單調遞減
2 當時，單調遞增，
由於的唯一性
15分綜上16分
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