一．選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.若複數( )
a. b. c. d.
2.已知集合( )
a. b. c. d.
3.已知向量( )
a. b. c. d.
4.下列命題中，正確的是（ ）
a． b. 已知服從正態分佈，且，則
c. 已知，為實數，則的充要條件是
d. 命題：「」的否定是「」
5.在斜三角形abc中，（ ）
a. 1 b. c. 2 d.
6.將函式的圖象向左平移個單位，則得到的圖象( )
a.關於對稱b.關於對稱
c.對應的函式在上遞增 d.對應的函式在上遞減
7.函式（其中）的圖象不可能是( )
8.定義在上的偶函式，其導函式為，若對任意的實數，都有恆成立，則使成立的實數的取值範圍為（ ）
a. b．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） c．（﹣1，1） d．（﹣1，0）∪（0，1）
9.已知直線與函式的圖象相切，則切點的橫座標為( )
abc.2d.
10.如圖，梯形中，，，，,和分別為與的中點，對於常數，在梯形的四條邊上恰好有8個不同的點，使得成立，則實數的取值範圍是（ ）
ab.cd.
11.知為偶函式，當時，，若函式恰有4個零點，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
12.在中，角的對邊分別為
周長的取值範圍是( )
abcd.
二、填空題（本大題4小題，每題5分，共20分）
13.設向量滿足，則 ．
14.過函式影象上乙個動點作函式的切線，則切線的傾斜角的範圍是 ．
15.已知於函式若，使得等式成立，則實數k的取值範圍是
16.對於函式，
下列5個結論正確的是把你認為正確的答案全部寫上）．
(1)任取，,都有；
(2)函式在上單調遞增；
(3)，對一切恆成立；
(4)函式有3個零點；
(5)若關於的方程有且只有兩個不同的實根,，則.
三、 解答題：（本大題6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17.在中，角的對邊分別是，已知.
（1）求的值；（2） 若角為銳角，求的值及的面積．
18.已知，
（1）求函式的單調遞增區間；
（2）設△abc的內角a滿足，而，求邊bc的最小值．
19.已知命題：函式在上是增函式；命題：若函式在區間[0，+∞）沒有零點．
（1）如果命題為真命題，求實數的取值範圍；
（2）命題「」為真命題，「」為假命題，求實數的取值範圍．
20.乙個玩具盤由乙個直徑為公尺的半圓和乙個矩形構成，公尺，如圖所示．小球從點出發以的速度沿半圓軌道滾到某點處後，經彈射器以的速度沿與點切線垂直的方向彈射到落袋區內，落點記為．設弧度，小球從到所需時間為．
（1）試將表示為的函式，並寫出定義域；
（2）求時間最短時的值．
21．已知函式．
（1）當，時，討論函式在區間上零點的個數；
（2）當時，如果函式恰有兩個不同的極值點，，證明：．
請考生在第22．23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，答題時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目的題號塗黑．
22． 在直角座標系中，直線l的引數方程為(t為引數)，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極座標系，曲線c的極座標方程為．
(i)求曲線c的直角座標方程；
(ⅱ)設直線l與曲線c交於a，b兩點，線段ab的中點m的直角座標為(2，1)，求直線l的方程．
23．已知函式．
(i)求不等式的解集d；
(ⅱ)在(i)的條件下，設，證明．
龍泉中學2016-2023年高三上學期周練數學（15）答案
選擇題 1-4 dbab 5-8 bdcb 9-12 addc
填空題13.4 14. 15 16. （1）（4）（5）
解答題17． （i）因為，
由正弦定理，得．
（ii）因為，且，
所以，得．
由餘弦定理，得．
解得或（舍負）． 所以．
18.=
由得，故所求單調遞增區間為．
（2）由得，
∵，即，∴bc=2，
又△abc中， =，∴
19.解：（1）如果命題p為真命題，
∵函式f（x）=x3+ax2+x在r上是增函式，
∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0對x∈（﹣∞，+∞）恆成立
（2）g′（x）=ex﹣1≥0對任意的x∈[0，+∞）恆成立，
∴g（x）在區間[0，+∞）遞增
命題q為真命題g（0）=a+1＞0a＞﹣1
由命題「p∨q」為真命題，「p∧q」為假命題知p，q一真一假，
若p真q假，則
若p假q真，則
綜上所述，
20. 解：（1）過作於，則，
，，，所以，．
（2），
，記，，
故當時，時間最短
21.（1）當，時，函式在區間上的零點的個數即方程根的個數．
由， 令，
則在上單調遞減，這時；在上單調遞增，這時．所以是的極小值即最小值，即
所以函式在區間上零點的個數，討論如下：
當時，有個零點；當時，有個零點；當時，有個零點．
(2)由已知， ，
，是函式的兩個不同極值點（不妨設），
（當時，，即是上的增函式，與已知矛盾；當時，只有乙個零點，也與已知矛盾），
且，． ，
兩式相減得：,於是要證明，即證明，兩邊同除以，即證，即證，
即證， 令，．即證不等式，當時恆成立． 設， ．
設， ，當，，
單調遞減，所以，即， ，
在時是減函式． 在處取得極小值．
，得證． ．
龍泉中學2019屆高三周練理科數學試卷 3
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