亭湖高階中學2015屆高三數學周練十一
命題：沈仲審核：李鎖存
一、 填空題：本大題共14小題,每小題5分,計70分.不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上.
1． 已知集合，，則 ▲ ．
【答案】
2． 設複數滿足（是虛數單位），則複數的模為 ▲ ．
【答案】
3． 右圖是乙個演算法流程圖，則輸出的的值是 ▲ ．
【答案】
4． 「」是「」成立的 ▲ 條件．
（從「充要」，「充分不必要」，「必要不充分」中選擇乙個正確的填寫）
【答案】必要不充分
5． 根據某固定測速點測得的某時段內過往的100輛
機動車的行駛速度(單位：km/h)繪製的頻率分布
直方圖如右圖所示．該路段限速標誌牌提示機動
車輛正常行駛速度為60 km/h~120 km/h，則該時
段內非正常行駛的機動車輛數為 ▲ ．
【答案】
6． 已知扇形的半徑為10㎝，圓心角為120°，則扇形的面積為 ▲ ．㎝2
7． 從集合中任取兩個不同的數，則其中乙個數恰是另乙個數的3倍的概率為
【答案】
8． 在平面直角座標系中，設點為圓：上的任意一點，點(2，) ()，則線段長度的最小值為 ▲ ．
【答案】
9． 函式，，在上
的部分圖象如圖所示，則的值為 ▲ ．
【答案】
10．各項均為正數的等比數列中，．當取最小值時，數列的通項公式an= ▲ ．
【答案】
11．已知函式是偶函式，直線與函式的圖象自左向右依次交於四個不同點，，，．若，則實數的值為 ▲ ．
【答案】
12．過點作曲線：的切線，切點為，設在軸上的投影是點，過點再作曲線的切線，切點為，設在軸上的投影是點，…，依次下去，得到第個切點．則點的座標為 ▲ ．
【答案】
13．在平面四邊形abcd中，點e，f分別是邊ad，bc的中點，且ab，，cd．
若，則的值為 ▲ ．
【答案】
14．已知實數a1，a2，a3，a4滿足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，則a4的取值範圍是 ▲ ．
【答案】
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本題滿分14分）
在△abc中，內角a，b，c所對邊長分別為，，，.
（ⅰ）求的最大值及的取值範圍；
（ⅱ）求函式的最值.
15．解（ⅰ） 即2分
又所以 ，即的最大值為16 ………………4分
即所以， 又0＜＜ 所以0＜ ……6分
（ⅱ）10分
因0＜，所以＜，………12分
當即時， ……………13分
當即時14分
16．（本小題滿分14分）
設函式的最大值為，最小值為，其中．
（1）求的值（用表示）；
（2）已知角的頂點與平面直角座標系中的原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點．求的值．
16．（本小題滿分14分）
解（１） 由題可得而2分
所以5分
（２） 角終邊經過點
當時，, 則7分
所以10分
當時，則12分
所以13分
綜上所述或14分
17．（本小題滿分14分）
某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y (單位：千克)與銷售**(單位：元/千克)滿足關係式y＝＋10(x－6)，其中3＜x＜6，a為常數．已知銷售**為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售**x的值, 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
17. 解：（1）由題設知x＝5時y＝11，則11＝＋10(5－6)，解得a＝2.
………………3分
（2）由（1）知該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為
f(x)＝(x－3) [＋10(x－6)]＝2＋10(x－3) (x－6)，3＜x＜6. ………………6分
對函式f(x)求導，得f ′(x)＝10[(x－6)＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
令f ′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝410分
當3＜x＜4時，f ′(x)＞0，當4＜x＜6時，f ′(x)＜0，於是有函式f(x)在(3，4)上遞增，在(4，6)上遞減，所以當x＝4時函式f(x)取得最大值f(4)＝4213分
答：當銷售**x＝4時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.
………………14分
18．（本小題滿分16分）
在平面直角座標系xoy中，如圖，已知橢圓c：＋y＝1的上、下頂點分別為a、b，點p在橢圓c上且異於點a、b，直線ap、pb與直線l：y＝－2分別交於點m、n.
（1）設直線ap、pb的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；
（2）求線段mn長的最小值；
（3）當點p運動時，以mn為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．
18. 解：（1）由題設＋y＝1可知，點a(0，1)，b(0，－1).
令p(x0，y0)，則由題設可知x0≠0.
所以，直線ap的斜率k1＝，pb的斜率為k22分
又點p在橢圓上，所以（x0≠0），從而有
k1·k24分
（2）由題設可以得到直線ap的方程為y－1＝k1(x－0)，直線pb的方程為
y－(－1)＝k2(x－0).
由，解得；
由，解得.
所以，直線ap與直線l的交點，直線pb與直線l的交點.
………………7分
於是，又k1·k2＝－，所以
≥2＝4，
等號成立的條件是，解得.
故線段mn長的最小值是410分
（3）設點q(x,y)是以mn為直徑的圓上的任意一點，則·＝0，故有.
又，所以以mn為直徑的圓的方程為
13分令，解得或.
所以，以為直徑的圓恆過定點（或點）．
………………16分
注：寫出一點的座標即可得分.
19．（本小題共16分）已知.
（1）若函式在區間上有極值，求實數的取值範圍；
（2）若關於的方程有實數解，求實數的取值範圍；
（3）當，時，求證：.
19．解：（1），
當時，；當時，；
函式在區間（0，1）上為增函式；在區間為減函式3分
當時，函式取得極大值，而函式在區間有極值.
，解得5分
（2）由（1）得的極大值為，令，所以當時，函式取得最小值，又因為方程有實數解，那麼，即，所以實數的取值範圍是10分
（另解：，，
令，所以，當時，
當時，；當時，
當時，函式取得極大值為
當方程有實數解時，.）
（3）函式在區間為減函式，而，
，即12分
即，而，
結論成立16分
20．（本題滿分16分）
已知數列是各項均不為的等差數列，公差為，為其前項和，且滿足，．數列滿足，為數列的前n項和．
（1）求、和；
（2）若對任意的，不等式恆成立，求實數的取值範圍；
（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請說明理由．
20、解：（1）（法一）在中，令，，
得即2分
解得3分，5分
（法二）是等差數列2分
由，得 ， 又，，則． ------3分
(求法同法一)
（2）①當為偶數時，要使不等式恆成立，即需不等式恆成立6分
，等號在時取得． 此時需滿足7分
②當為奇數時，要使不等式恆成立，
即需不等式恆成立8分
是隨的增大而增大， 時取得最小值．
此時需滿足9分
綜合①、②可得的取值範圍是10分
（3），
若成等比數列，則，即．…12分
（法一）由， 可得，
即14分
． 又，且，所以，此時．
因此，當且僅當， 時，數列中的成等比數列16分
（法二）因為，故，即，
，（以下同上14分
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