一、二次根式概念及化簡
二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式．
二次根式的基本性質：⑴（）雙重非負性；⑵（）；⑶
二、 二次根式的乘除
最簡二次根式：
二次根式（）中的稱為被開方數．滿足下面條件的二次根式我們稱為最簡二次根式：
⑴被開放數的因數是整數，因式是整式（被開方數不能存在小數、分數形式）
⑵被開方數中不含能開得盡方的因數或因式
⑶分母中不含二次根式
二次根式的計算結果要寫成最簡根式的形式．
二次根式的乘法法則：（，）
二次根式的除法法則：（，）
利用這兩個法則時注意、的取值範圍，對於，、都非負，否則不成立，
如三、二次根式的加減
同類二次根式：
幾個二次根式化成最簡二次根式以後，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式．
合併同類二次根式：．同類二次根式才可加減合併．
四、分母有理化
分母有理化：
把分母中的根號化去叫做分母有理化．
互為有理化因式：
兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，說這兩個代數式互為有理化因式．
與互為有理化因式；分式有理化時，一定要保證有理化因式不為0．
1、從二次根式的定義看出，二次根式的被開方數可以是乙個數，也可以是乙個式子，且被開方數必須是非負數．
2、二次根式的性質具有雙重非負性，即二次根式中被開方數非負,算術平方根非負.
3、利用得到成立，可以把任意乙個非負數或式寫成乙個數或式的平方的形式．如．
4、注意逆用二次根式的性質，即，，利用這兩個性質可以對二次根式進行化簡．
5、運用二次根式的性質化簡時，最後結果中的二次根式要化為最簡二次根式或整式．最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方式中不含分母；(2)被開方式中不含能開得盡方的因數或因式．
一、二次根式概念及性質
【例1】 取何值時，下列各式有意義：
【鞏固】 設，求使有意義的的取值範圍.
【鞏固】當取何值時，式子在實數範圍內有意義．
【鞏固】 當時，有意義．
【例2】 若、為實數，且，
求的值.
【鞏固】 若和互為相反數，求的值.
【鞏固】 已知，那麼的值為
【鞏固】 求代數式的最小值.
【鞏固】已知實數與非零實數滿足等式：.求.
【例3】 已知為實數，且滿足，求的值.
【鞏固】已知：，求的平方根.
【鞏固】 若，求的值.
【鞏固】 在實數範圍成立，那麼的值是多少？
【例4】
若適合關係式，試確定的值.
【例5】 已知為實數，，求.
【鞏固】 ，求，的值.
【鞏固】化簡：
二、關於二次根式的化簡
【例6】 已知：，求的取值範圍
【鞏固】 化簡：
【例7】 數，在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡．
【鞏固】 化簡：（）
【例8】 若，則化簡
【鞏固】 化簡：，其中
【鞏固】 已知，化簡
【鞏固】 化簡下列各式：（）
【鞏固】 化簡下列各式：
（）【鞏固】 化簡下列各式
⑴（，）
⑵（，）
【補充】(第14屆「希望盃」試題)設，
則【例9】 （湖北省黃風地區初中數學競賽題）設都是實數，且，，，
那麼化簡為（ ）
a． b． c． d.
【鞏固】
如果，與都成立，尋麼，的最簡結果是
【鞏固】 如果，，化簡
【例10】 （江蘇省初中數學競賽題）已知實數滿足，那麼，的值是（ ）
abcd.
【例11】 已知，確定的取值範圍．
【例12】 化簡，得（ ）
a． b． c． d．
【鞏固】 化簡：
【例13】 化簡：
【鞏固】 化簡：．
【補充】化簡：
【例14】 為實數，且，求的值.
【鞏固】已知，是實數，且.化簡.
三、二次根式的乘除
【例15】 下列二次根式中，最簡二次根式的個數是（ ）．
a.1個b.2個c.3個d.4個
【例16】 化簡下列各式（字母均取正數）：
【鞏固】若，且，化簡
【鞏固】 化簡：
【例17】 計算：⑴；⑵；⑶；⑷
【鞏固】 已知則
四、分母有理化
【例18】 把下列各式分母有理化：
【鞏固】 把下列各式分母有理化：⑴⑵
⑶⑷【補充】若，求的最大值.
【例19】 化簡：
【鞏固】
計算【例20】 化簡：（ ）
a． b．
c． d．不同於的答案
五、二次根式的加減
【例21】 在，，，…，這個式子中，與是同類二次根式的共有多少個？
【鞏固】 下列二次根式中，哪些是同類二次根式？（字母均為正數）
；；；；；．
【例22】 如果最簡根式與是同類二次根式，求的值.
【鞏固】 已知最簡根式是同類二次根式，則滿足條件的,的值（ ）
a．不存在 b．有一組 c．有二組 d．多於二組
【鞏固】 若與最簡二次根式為同類二次根式，其中，為整數，則
【鞏固】 方程的整數解有組.
【例23】 計算
【鞏固】 化簡計算
【例24】 計算： ⑴⑵⑶
【鞏固】 計算：⑴
⑵【鞏固】 計算：
【鞏固】 計算
【例25】 計算
【鞏固】 計算
【習題1】 計算
【習題2】 判斷下列各組二次根式是不是同類二次根式：
【習題3】 若最簡二次根式是同類根式，求的值．
【習題4】 ⑴在數軸上與表示的點的距離最近的整數點所表示的數是
⑵2023年河南省)已知為整數，且滿足，則
⑶估計的大小應( )
a.在9.1～9.2之間 b.在9.2～9.3之間 c.在9.3～9.4之間 d.在9.4～9.5之間
【習題5】 把下列各式中根號外面的因式移到根號內，並使原式的值不變．(先講變式有助學生理解例題)
【備選1】 化簡：⑴ ⑵
【備選2】 計算：⑴ ⑵⑶
【備選3】 計算：
【備選4】 計算
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