三角形一、 三角形初步
1． 三角形的概念：由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三角形中的主要線段：
（1）三角形的乙個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
（2）在三角形中，連線乙個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
（3）從三角形乙個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
3. 三角形的特性與表示
三角形有下面三個特性：
（1）三角形有三條線段
（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形
（3）首尾順次相接
4. 三角形的分類
三角形按邊的關係分類如下：
不等邊三角形
三角形底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形
三角形按角的關係分類如下：
直角三角形（有乙個角為直角的三角形）
三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）
斜三角形
鈍角三角形（有乙個角為鈍角的三角形）
把邊和角聯絡在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
5. 三角形的三邊關係定理及推論
（1）三角形三邊關係定理：三角形的兩邊之和大於第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小於第三邊。
（2）三角形三邊關係定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形
②當已知兩邊時，可確定第三邊的範圍。
③證明線段不等關係。
6. 三角形的內角和定理及推論
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於180°。
推論：①直角三角形的兩個銳角互餘。
②三角形的乙個外角等於和它不相鄰的來兩個內角的和。
③三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。
注：在同乙個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。
7. 三角形的面積
三角形的面積=×底×高
8．全等三角形
1）全等三角形的表示和性質
全等用符號「≌」表示，讀作「全等於」。如△abc≌△def，讀作「三角形abc全等於三角形def」。
注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。
2）三角形全等的判定
①邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「邊角邊」或「sas」）
②角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「角邊角」或「asa」）
③邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「邊邊邊」或「sss」）。
直角三角形全等的判定：
對於特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有hl定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成「斜邊、直角邊」或「hl」）
9.三角形相似
1）判定：
判定定理1：如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應相等,那麼這兩個三角形相似（asa）
判定定理2：如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，並且相應的夾角相等，那麼這兩個三角形相似（sas）
判定定理3：如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那麼這兩個三角形相似（sss）
判定定理4：兩三角形三邊對應垂直，則兩三角形相似。
判定定理5：兩個直角三角形中，斜邊與直角邊對應成比例，那麼兩三角形相似。
2）性質：
(1)相似三角形的對應角相等。
(2)相似三角形的對應邊成比例。
(3)相似三角形的對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比
(4)相似三角形的周長比等於相似比。
(5)相似三角形的面積比等於相似比的平方。
3）影射定理：
射影定理（又叫歐幾里德(euclid)定理）俗稱母子三角形：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。
例如：(前提：∠bad+∠dac=90度，ad⊥bc)
公式rt△abc中，∠bac=90°，ad是斜邊bc上的高，則有射影定理如下：(1)(ad)^2;=bd·dc，(2)(ab)^2;=bd·bc，(3)(ac)^2;=cd·bc。等積式 (4)abxac=bcxad(可用面積來證明)
10. 三角形中的中位線
1）連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
①三角形共有三條中位線，並且它們又重新構成乙個新的三角形。
②要會區別三角形中線與中位線。
2）角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半。
3）三角形中位線定理的作用：
位置關係：可以證明兩條直線平行。
數量關係：可以證明線段的倍分關係。
4）常用結論：任乙個三角形都有三條中位線，由此有：
結論1：三條中位線組成乙個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
二、 解三角形
1、三角形三角關係：a+b+c=180°；c=180°—(a+b)；
2、三角形三邊關係：a+b>c; a-b3、三角形中的基本關係：
4、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，為的外接圓的半徑，則有．
5、正弦定理的變形公式：
化角為邊：，，；
化邊為角：，，；；．
6、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.
已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.(對於已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)
7、三角形面積公式：．=2r2sinasinbsinc==
8、餘弦定理：在中，有，，
．9、餘弦定理的推論：，，．
10、餘弦定理主要解決的問題：
已知兩邊和夾角，求其餘的量。
已知三邊求角）
11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正餘弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式
設、、是的角、、的對邊，則：
若，則；
若，則；
若，則．
12、三角形的五心：
垂心——三角形的三邊上的高相交於一點
重心——三角形三條中線的相交於一點
外心——三角形三邊垂直平分線相交於一點
內心——三角形三內角的平分線相交於一點
旁心——三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交於一點
三、三角函式
1.與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：
終邊在x軸上的角的集合：
終邊在y軸上的角的集合：
終邊在座標軸上的角的集合：
終邊在y=x軸上的角的集合：
終邊在軸上的角的集合：
若角與角的終邊關於x軸對稱，則角與角的關係：
若角與角的終邊關於y軸對稱，則角與角的關係：
若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關係：
角與角的終邊互相垂直，則角與角的關係：
2. 角度與弧度的互換關係：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.
、弧度與角度互換公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧長公式：. 扇形面積公式：
4、三角函式：設是乙個任意角，在的終邊上任取（異於原點的）一點p（x,y）p與原點的距離為r，則
5、三角函式在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函式線
正弦線：mp; 余弦線：om; 正切線： at.
7. 三角函式的定義域：
8、同角三角函式的基本關係式：
9、誘導公式：
「奇變偶不變，符號看象限」
三角函式的公式：（一）基本關係
公式組二公式組三
公式組四公式組五公式組六
（二）角與角之間的互換
公式組一公式組二
公式組三公式組四公式組五
, , ,.
10. 正弦、余弦、正切、餘切函式的圖象的性質：
注意： 與的單調性正好相反；與的單調性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.
與的週期是.
或（）的週期.
的週期為2（，如圖，翻摺無效）.
的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.
當·；·.
與是同一函式,而是偶函式，則
.函式在上為增函式.（×） [只能在某個單調區間單調遞增. 若在整個定義域，為增函式，同樣也是錯誤的].
定義域關於原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關於原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函式：，奇函式：）
奇偶性的單調性：奇同偶反. 例如：是奇函式，是非奇非偶.（定義域不關於原點對稱）
第三章三角函式 解三角形
第一節任意角和弧度制及任意角的三角函式 1 角的概念的推廣 1 定義 角可以看成平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所成的圖形 2 分類 3 終邊相同的角 所有與角 終邊相同的角，連同角 在內，可構成乙個集合s 2 弧度制的定義和公式 1 定義 把長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度...
第三章三角形測試卷
班級姓名分數 一 選擇題 每題3分，共計36分 1 下面四個圖形中，線段be是 abc的高的圖是 2 等腰三角形兩邊長分別為 3，7，則它的周長為 a.13 b.17 c.13或17 d.不能確定 3 若三角形三個內角的比為1 2 3，則這個三角形是 a.銳角三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 ...
三角形1認識三角形教學設計
基本資訊 課題作者及工作單 位北師大版七年級下冊第三章三角形1 認識三角形 第二課時 金小鴻四川渠縣李渡鄉第二中心學校 教材分析 本節內容在三角形的第一節認識三角形中占有承前啟後的作用.對於三角形學生並不陌生，但對於邊角滿足的條件等更深層次的認識則無所知，需要我們共同 本節不僅是簡單的幾何知識，更是...