第十部分三角形
10.1. 三角形的基本概念
三角形的概念：
如圖，由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角．
三角形的主要線段：
三角形的乙個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線．這裡我們要注意兩點：一是乙個三角形有三條角平分線，並且相交於三角形內部一點；二是三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線．
在三角形中，鏈結乙個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．這裡我們要注意兩點：一是乙個三角形有三條中線，並且相交於三角形內部一點；二是三角形的中線是一條線段．
從三角形乙個頂點向它對邊畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡稱三角形的高)．這裡我們要注意三角形的高是線段，而垂線是直線．
三角形的穩定性：
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性．三角形的這個性質在生產和生活中應用很廣，需要穩定的東西都製成三角形的形狀．
10.2. 三角形的特性與表示
三角形有下面三個特性：
三角形有三條線段；
三條線段不在同一條直線上；
首尾順次連線．
以上三點表明三角形是封閉圖形，如圖就不是三角形
「三角形」 用符號「」 表示，頂點是的三角形記作「」 ，讀作「三角形」 ．
10.3. 三角形的分類及角邊關係
10.3.1. 三角形的分類
三角形按邊的關係可以如下分類：
三角形按角的關係可以如下分類：
把邊和角聯絡在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形．它是兩條直角邊相等的直角三角形．
注意：乙個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角；最多有乙個鈍角；最多有乙個直角．
10.3.2. 三角形的三邊關係定理及推論
三角形三邊關係定理：三角形的兩邊之和大於第三邊．
推論：三角形兩邊之差小於第三邊．
三角形三邊關係定理及推論的作用：
判斷三條已知線段能否組成三角形．
當已知兩邊時，可確定第三邊的範圍．
證明線段不等關係．
10.3.3. 三角形的內角和定理及推論
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於．
推論：直角三角形的兩個銳角互餘．
三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和．
三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角．
注意：在同乙個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角．
10.3.4. 三角形的面積
三角形的面積＝×底×高．
10.4. 全等三角形
10.4.1. 全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角．夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊．夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角．
10.4.2. 全等三角形的表示和性質
下圖中的兩個三角形能夠完全重合，就是全等三角形，「全等」用符號「≌」來表示，讀作「全等於」 ．下圖中的和全等，記作「≌」 ．
注意:記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上．
因為能夠重合的兩條線段是相等的線段，能夠重合的兩個角是相等的角，所以全等三角形的對應邊相等，對應角相等．這是全等三角形的性質．
10.4.3. 三角形全等的判定
三角形全等的判定公理：
三角形全等的判定公理有下面幾個：
(1)邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成「邊角邊」或「sas」 )．
(2)角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成「角邊角」或「asa」 )．這個公理還有下面的推論：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成「角角邊」或「aas」 )．
(3)邊邊邊公理：有三邊對應相等的兩個三角形全等．(可以簡寫成「邊邊邊」或「sss」 )．
三角形全等判定公理的選擇：
如何選擇哪種判定公理必須根據已知條件而定，詳細內容見下表：
直角三角形全等的判定：
對於特殊的直角三角形，判斷它全等時，還有hl公理即斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫為「斜邊、直角邊」或「hl」)．
注意：hl公理是直角三角形獨有的，它對一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定公理同樣適用於直角三角形．
有兩邊和其中一邊的對角(直角或鈍角)對應相等，則這兩個三角形全等．
10.4.4. 全等變換
只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換．全等變換包括以下三種：
平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換．如圖1，把沿直線移動到和位置就是平移變換．
對稱變換：將圖形沿某直線翻摺，這種變換叫做對稱變換．如圖2，將翻摺到位置的變換就是對稱變換．
旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另乙個位置，這種變換叫做旋轉變換．如圖3，將繞過點旋轉到的位置，就是旋轉變換．
這裡我們應該知道，無論是平移變換，對稱變換還是旋轉變換，變換前後的兩個圖形全等，具有全等的所有性質．
圖1圖2圖3
10.5. 等腰三角形
10.5.1. 等腰三角形的性質
等腰三角形的性質定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡稱：等邊對等角)．即：在中，若，則．
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊並且垂直於底邊．即等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合．
推論2：等邊三角形的各個角都相等，並且每個角都等於．
等腰三角形的其它性質：
1、 等腰三角形的三線合一性：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互
相重合．即只要知道其中乙個量，就可以知道其它兩個量．
2、 等腰直角三角形的兩個底角相等且等於．
3、 等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角(或直角)，但頂角可以為鈍角(或直角)．
4、 等腰三角形的三邊關係：設腰長為，底邊長為，則．
5、 等腰三角形的三角關係：設頂角為，底角為，則有：，
． 10.5.2. 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推論：
定理：如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等．(簡寫成：等角對等邊).這個判定定理常用於證明同乙個三角形中的邊相等．
推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．
推論2：有乙個角是的等腰三角形是等邊三角形．
推論3：在直角三角形中，如果乙個銳角等於，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．
注意：推論1，推論2常用於證明乙個三角形是等邊三角形；推論3常證明線段的倍分．
證明乙個三角形是等腰三角形的方法：
1、利用定義證明，有兩邊相等的三角形是等腰三角形．
2、等腰三角形的判定定理：等角對等邊．
證明乙個三角形是等邊三角形的方法：
1、利用定義證明：證明三條邊相等．
2、證明三角形三個角相等．
3、證明它是等腰三角形並且已有乙個角是．
等腰三角形的性質與判定：
10.6. 直角三角形；
10.6.1. 直角三角形的性質
1、直角三角形兩銳角互餘．
即：．2、直角三角形中，角所對的直角邊等於斜邊的一半．
即：．3、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
即：．4、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和，等於斜邊的平方．
即：． 注意：此定理揭示了直角三角形三邊關係，蘊含了數形結合思想，是從圖形到數量的關係，常用來求線段的長．
5、射影定理：直角三角形斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項，每條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．
即：注意：1、它是線段計算、比例求等積式或證明中的常用定理；
2、這個雙垂直圖形中還有：
兩對等角(除直角)；
②三個相似三角形即∽∽；
③由面積公式推導出來另一等積式：．
10.6.2. 直角三角形的判定
1、有乙個角是直角的三角形是直角三角形．
2、如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形．
注意：它是「直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半」的逆定理．
3、勾股定理逆定理：
如果三角形三邊長有下面關係：，那麼這個三角形是直角三角形．
注意：它是利用三角形邊長的數量關係判斷三角形形狀，體現了數形結合思想．
10.6.3. 銳角三角函式的概念
如圖，在中，，我們把銳角a的
對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，
即：；鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，
即：；銳角a的對邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，
即：；銳角a的鄰邊與對邊之比叫做的餘切，記作，
即：．說明：
①當固定時，的正弦值，余弦值，正切值，餘切值都是固定的，這與的兩邊長短無關．
上面各式從整體看是乙個等式，而右邊是乙個分式，因而具有等式、分式的性質，當已知式中兩個量時，可求第三量．
銳角a的正弦、余弦、正切、餘切都叫做的銳角三角函式．
說明：由於銳角三角函式都是線段的比值，因而都是正數，而且沒有單位．
10.6.4. 特殊角度的三角函式值
三角形知識總結
1 己知三角形的三邊求作這個三角形 2 己知三角形的兩邊及夾角 求作這個三角形 3 己知三角形的兩角及夾邊 求作這個三角形 二 應注意的問題 1.三角形的角平分線不同於乙個角的平分線，前者是一條線段，後者是一條射線 三角形的高線是線段，而線段的垂線是直線 銳角三角形的三奪高線都在三角形的內部，直角三...
三角形知識整理
由不在同一直線上的三條線段首尾順次鏈結所組成的封閉圖形叫做三角形。平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。三條直線所圍成的圖形叫平面三角形 三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。乙個封閉圖形的內角和為180度叫做三角形。三角形分類 1 按角度分 a.銳角三角形 三個角都小於90度。並不是...
全等三角形和相似三角形
a.上節知識問答 b.精彩導學 三角形全等中考以證明題出現，比例的性質是數學基本能力，相似出現在壓軸題題中。c.教師精講 全等三角形回顧 全等三角形的典型圖形 全等三角形判定 sas 兩邊夾角證全等 asa 兩角夾邊證全等 aas 兩角一邊證全等 sss 三邊相等證全等 hl 直角三角形直角邊和斜邊...