21．（2008，本題滿分9分）在rt△abc中,∠acb=90°,中線ae與中線cd交於點o，ab=6.
（1）求證：ao︰oe=2︰1；（2）求oc的長.
23．(2008，本題滿分10分) （1）**新知：如圖1，已知△abc與△abd的面積相等， 試判斷ab與cd的位置關係，並說明理由．
（2）結論應用： ① 如圖2，點m，n在反比例函式（k＞0）的圖象上，過點m作me⊥y軸，過點n作nf⊥x軸，垂足分別為e，f．
試證明：mn∥ef．
② 若①中的其他條件不變，只改變點m，n
的位置如圖3所示，請判斷 mn與ef是否平行．
20．（2009，本題滿分9分）如圖，⊙o的直徑ab=4，c為圓周上一點，ac=2，過點c作⊙o的切線，過點b作的垂線bd，垂足為d，bd與⊙o交於點e。（1）求∠aec的度數；（2）求證：四邊形obec是菱形。
24．,2009，本題滿分l2分）已知正方形abcd中，e為對角線bd上一點，過e點作ef⊥bd交bc於f，連線df，g為df中點，連線eg，cg．
（1）求證：eg=cg．
（2）將圖①中△bef繞b點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取df中點g，連線eg，cg．問（1）中的結論是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）將圖①）中△bef繞b點旋轉任意角度，如圖③所示，再連線相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什麼結論?（均不要求證明）
21.（2010，本題滿分9分）
在rt△acb中，∠c=90°，ac=3cm，bc=4cm，以bc為直徑作⊙o交ab於點d.
（1）求線段ad的長度；（2）點e是線段ac上的一點，試問當點e在什麼位置時，直線ed與⊙o相切？請說明理由.
23.（2010，本題滿分10分）在 abcd中，ac、bd交於點o，過點o作直線ef、gh，分別交平行四邊形的四條邊於e、g、f、h四點，鏈結eg、gf、fh、he.
（1）如圖①，試判斷四邊形egfh的形狀，並說明理由；
（2）如圖②，當ef⊥gh時，四邊形egfh的形狀是
（3）如圖③，在（2）的條件下，若ac=bd，四邊形egfh的形狀是
（4）如圖④，在（3）的條件下，若ac⊥bd，試判斷四邊形egfh的形狀，並說明理由.
21．(2011，9分)已知矩形紙片abcd中，ab＝2，bc＝3．
操作：將矩形紙片沿ef摺疊，使點b落在邊cd上．
**：(1)如圖1，若點b與點d重合，你認為△eda1和△fdc全等嗎？如果全等給出證明，如果不全等請說明理由；
(2)如圖2，若點b與cd的中點重合，求△fcb1和△b1dg的周長之比．
23．,2011，10分)如圖，ab是⊙o的直徑，弦de垂直平分半徑oa，
c為垂足，de＝3，連線bd，過點e作em∥bd，交ba的
延長線於點m．
(1)求⊙o的半徑；
(2)求證：em是⊙o的切線；
(3)若弦df與直徑ab相交於點p，當∠apd＝45時，求圖中陰影部分的面積．
21．（9分）（2012萊蕪）如圖1，在△abc中，ab=ac，∠bac=90°，d、e分別是ab、ac邊的中點．將△abc繞點a順時針旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△ab′c′（如圖2）．
（1）**db′與ec′的數量關係，並給予證明；
（2）當db′∥ae時，試求旋轉角α的度數．
23．（10分）（2012萊蕪）如圖，在菱形abcd中，ab=2，∠a=60°，以點d為圓心的⊙d與邊ab相切於點e．
（1）求證：⊙d與邊bc也相切；
（2）設⊙d與bd相交於點h，與邊cd相交於點f，連線hf，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）；
（3）⊙d上一動點m從點f出發，按逆時針方向運動半周，當s△hdf=s△mdf時，求動點m經過的弧長（結果保留π）．
21．（9分）（2013萊蕪）如圖，在rt△abc中，∠c=90°，以ac為一邊向外作等邊三角形acd，點e為ab的中點，鏈結de．
（1）證明de∥cb；
（2）探索ac與ab滿足怎樣的數量關係時，四邊形dcbe是平行四邊形．
23．（10分）（2013萊蕪）如圖，⊙o的半徑為1，直線cd經過圓心o，交⊙o於c、d兩點，直徑ab⊥cd，點m是直線cd上異於點c、o、d的乙個動點，am所在的直線交於⊙o於點n，點p是直線cd上另一點，且pm=pn．
（1）當點m在⊙o內部，如圖一，試判斷pn與⊙o的關係，並寫出證明過程；
（2）當點m在⊙o外部，如圖二，其它條件不變時，（1）的結論是否還成立？請說明理由；
（3）當點m在⊙o外部，如圖三，∠amo=15°，求圖中陰影部分的面積．
21．（9分）（2014萊蕪）如圖，已知△abc是等腰三角形，頂角∠bac=α（α＜60°），d是bc邊上的一點，連線ad，線段ad繞點a順時針旋轉α到ae，過點e作bc的平行線，交ab於點f，連線de，be，df．
（1）求證：be=cd；
（2）若ad⊥bc，試判斷四邊形bdfe的形狀，並給出證明．
23．（10分）（2014萊蕪）如圖1，在⊙o中，e是弧ab的中點，c為⊙o上的一動點（c與e在ab異側），連線ec交ab於點f，eb=（r是⊙o的半徑）．
（2）求efec的值；
（3）如圖2，當f是ab的四等分點時，求ec的值．
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