［例1］指出拋物線的焦點座標、準線方程.
（1）x2=4y (2)x=ay2(a≠0)
分析：（1）先根據拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點座標和準線方程.
（2）先把方程化為標準方程形式，再對a進行討論，確定是哪一種後，求p及焦點座標與準線方程.
解：（1）∵p=2
∴焦點座標是（0，1），準線方程是：y=-1
(2)原拋物線方程為：y2=x
∴2p=
①當a＞0時， =，拋物線開口向右
∴焦點座標是（,0）,準線方程是：x=-.
②當a＜0時， =-,拋物線開口向左
∴焦點座標是（,0），準線方程是：x=-.
綜合上述，當a≠0時，拋物線x=ay2的焦點座標為(,0),準線方程為x=-.
［例2］若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交於a、b兩點，且ab中點的橫座標為2，求此直線方程.
分析：由直線與拋物線相交利用韋達定理列出k的方程求解.另由於已知與直線斜率及弦中點座標有關，故也可利用「作差法」求k.
解法一：設a（x1,y1)、b(x2,y2),則由
可得：k2x2-(4k+8)x+4=0
∵直線與拋物線相交
∴k≠0且δ＞0
則k＞-1
∵ab中點橫座標為
∴解得:k=2或k=-1(捨去）
故所求直線方程為：y=2x-2
解法二：設a（x1,y1),b(x2,y2)
則有y12=8x1 y22=8x2
兩式作差解：(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)
即∵x1+x2=4
∴y1+y2=kx1-2+kx2-2
=k(x1+x2)-4
=4k-4
∴k=故k=2或k=-1(捨去)
則所求直線方程為:y=2x-2
［例3］求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓心與拋物線的準線相切.
分析：可設拋物線方程為y2=2px(p＞0).如圖所示，只須證明=|mm1|，則以ab為直徑的圓，必與拋物線準線相切.
證明：作aa1⊥l於a1，bb1⊥l於為ab中點，作mm1⊥l於m1，則由拋物線的定義可知：|aa1|=|af|，|bb1|=|bf|
在直角梯形bb1a1a中：
|mm1|= (|aa1|+|bb1|)
=（|af|+|bf|）
=|ab|
∴|mm1|=|ab|，故以ab為直徑的圓，必與拋物線的準線相切.
說明：類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離；以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交.
［例4］（1）設拋物線y2=4x被直線y=2x+k截得的弦長為3，求k值.
（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點p為頂點作三角形，當三角形的面積為9時，求p點座標.
分析：（1）題可利用弦長公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點到直線距離求p點座標.
解：（1）由得：4x2+(4k-4)x+k2=0
設直線與拋物線交於a（x1,y1)與b（x2,y2)兩點.
則有：x1+x2=1-k，x1·x2=
∴|ab|=
∵|ab|=3
∴=3即k=-4
(2)∵s△=9,底邊長為3
∴三角形高h=
∵點p在x軸上
∴設p點座標是（x0,0）
則點p到直線y=2x-4的距離就等於h，即
∴x0=-1或x0=5
即所求p點座標是（-1，0）或（5，0）.
［例5］已知定直線l及定點a（a不在l上），n為過a且垂直於l的直線，設n為l上任一點，an的垂直平分線交n於b，點b關於an的對稱點為p，求證p的軌跡為拋物線.
分析：要證p的軌跡為拋物線，有兩個途徑，一是證明p點的軌跡符合拋物線的定義，二是證明p的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由a為定點，l為定直線，為我們提供了利用定義的資訊，若能證明pa=pn且pn⊥l即可.
證明：如圖所示，鏈結pa、pn、nb.
由已知條件可知：pb垂直平分na，且b關於an的對稱點為p.
∴an也垂直平分pb.
則四邊形pabn為菱形.
即有pa=pn.
∵ab⊥l.
∴pn⊥l.
則p點符合拋物線上點的條件：到定點a的距離與到定直線的距離相等，所以p點的軌跡為拋物線.
拋物線及其標準方程習題
學業水平訓練 1 準線方程為y 的拋物線的標準方程為 a x2 yb x2 y c y2 x d y2 x 解析 選b.由準線方程為y 知拋物線焦點在y軸負半軸上，且 則p 故所求拋物線的標準方程為x2 y.2 拋物線方程為7x 4y2 0，則焦點座標為 a 0 b 0 c 0 d 0，解析 選c....
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