§2 圓與圓的方程
2.1 圓的標準方程
問題導學
1．直接法求圓的標準方程
活動與**1
求滿足下列條件的圓的標準方程．
(1)圓心為(2，－2)，且過點(6,3)；
(2)過點a(－4，－5)，b(6，－1)且以線段ab為直徑；
(3)圓心在直線x＝2上且與y軸交於兩點a(0，－4)，b(0，－2)．
遷移與應用
求滿足下列條件的圓的標準方程．
(1)圓心為(3,4)，半徑是；
(2)過兩點p1(4,7)，p2(2,9)，且以線段p1p2為直徑；
(3)圓心在x軸上的圓c與x軸交於兩點a(1,0)，b(5,0)．
1．直接法求圓的標準方程，關鍵是確定圓心座標與半徑，注意結合圓的幾何性質以簡化計算過程．
2．求圓的標準方程時常用的幾何性質：
(1)弦的垂直平分線必過圓心；
(2)圓的兩條不平行的弦的垂直平分線的交點必為圓心；
(3)圓心與切點的連線長為半徑；
(4)圓心與切點的連線垂直於圓的切線；
(5)圓的半徑r，半弦長d，弦心距h滿足r2＝d2＋h2.
2．待定係數法求圓的標準方程
活動與**2
求圓心在直線5x－3y＝8上，且圓與兩座標軸都相切的圓的方程．
遷移與應用
求經過點a(2，－3)，b(－2，－5)，且圓心在直線x－2y－3＝0上的圓的方程．
待定係數法求圓的標準方程的一般步驟為：
(1)設所求的圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)根據題意，建立關於a，b，r的方程組；
(3)解方程組，求出a，b，r的值；
(4)將a，b，r代入所設的圓的方程中，即得所求．
3．點和圓的位置關係
活動與**3
(1)圓的直徑端點為(2,0)，(2，－2)，求此圓的方程，並判斷a(5,4)，b(1,0)是在圓上、圓外，還是在圓內；
(2)若點p(－2,4)在圓(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，求實數m的取值範圍．
遷移與應用
1．點p(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關係是( )．
a．在圓外 b．在圓內 c．在圓上 d．不確定
2．求過點p1(3,8)，p2(5,4)且半徑最小的圓的方程，並判斷點m(5,3)，n(3,4)，p(3,5)是在此圓上，在圓內，還是在圓外．
點與圓的位置關係的判斷方法：
(1)幾何法：根據圓心到該點的距離d與圓的半徑r的大小關係；
(2)代數法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，點在圓外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，點在圓上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，點在圓內．
當堂檢測
1．圓心為c(－1，－1)，半徑為2的圓的標準方程為( )．
a．(x－1)2＋(y－1)2＝2 b．(x－1)2＋(y－1)2＝4
c．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 d．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
2．若圓的方程為(2x－3)2＋(2y＋4)2＝16，則其圓心c的座標和半徑r分別是( )．
a．c(－3,4)，r＝4 b．c(3，－4)，r＝16
c．c，r＝4 d．c，r＝2
3．已知圓c經過a(5,1)，b(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓c的方程為
4．若點(3，)在圓x2＋y2＝16的外部，則a的取值範圍是________．
5．已知圓c與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且經過點a(6,1)，求圓c的方程．
答案：課前預習導學
預習導引
1．圓心半徑圓心位置半徑
2．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)x2＋y2＝r2
預習交流1 提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2不一定表示圓，當m＝0時，方程表示點(a，b)．要使此方程表示圓，需保證m≠0.圓的標準方程中，r是半徑，r＞0.
預習交流2 提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2叫做圓的標準方程，其中等式左邊是兩項平方和的形式，且其中變數x，y的係數均為1.
預習交流3 提示：
3．d＞r d＝r d＜r
課堂合作**
問題導學
活動與**1 思路分析：首先確定圓心座標和半徑大小，然後再寫出圓的標準方程．
解：(1)由兩點間距離公式，得圓的半徑r＝＝，∴所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圓心即為線段ab的中點，為(1，－3)．又|ab|＝＝2，
∴半徑r＝.∴所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由於圓與y軸交於a(0，－4)，b(0，－2)，
∴圓心在直線y＝－3上．
又圓心在直線x＝2上，
∴圓心座標(2，－3)．半徑r＝＝，
∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
遷移與應用解：(1)圓的標準方程是(x－3)2＋(y－4)2＝5.
(2)圓心為(3,8)，半徑r＝|p1p2|＝＝，∴圓的標準方程為(x－3)2＋(y－8)2＝2.
(3)圓心為(3,0)，半徑r＝2，
∴圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝4.
活動與**2 思路分析：先設出圓的標準方程，由題設列出關於a，b，r的關係式，組成方程組，解方程組求出a，b，r的值代入即得圓的方程．
解：設所求圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵圓與座標軸相切，
∴圓心滿足a－b＝0或a＋b＝0.
又圓心在直線5x－3y＝8上，
∴5a－3b＝8.解方程組或得或∴圓心座標為(4,4)或(1，－1)，∴可得半徑r＝|a|＝4或r＝|a|＝1.
∴所求圓的方程為(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
遷移與應用解：設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依題意得
解方程得所以圓的標準方程是(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
活動與**3 思路分析：(1)求出圓心座標和半徑可得圓的標準方程．判斷點在圓上、圓外、圓內的方法是：根據已知點到圓心的距離與半徑的大小關係來判斷．
(2)利用點在圓的外部建立不等式求m的取值範圍．
解：(1)由已知得圓心座標為c(2，－1)，半徑r＝1.∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝1.∵|ac|＝＝＞1，|bc|＝＝＞1，∴a，b兩點都在圓外．
(2)由於點p(－2,4)在圓的外部，∴有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m，解得m＜5.又方程表示圓，∴有m＞0，
因此實數m的取值範圍是0＜m＜5.
遷移與應用 1．a
解析：∵(m2)2＋52＝m4＋25＞24，∴點p(m2,5)在圓外．
2．解：|p1p2|＝＝2，p1p2的中點座標為(4,6)．依題意，所求圓的圓心為c(4,6)，半徑為.∴所求圓的方程為(x－4)2＋(y－6)2＝5.
∵|mc|＝＝＞，|nc|＝＝，|pc|＝＝＜，∴點m在圓外，點n在圓上，點p在圓內．
當堂檢測
1．d 2．d 3．(x－2)2＋y2＝10
4．(7，＋∞)
5．解：∵圓心在直線x－3y＝0上，∴設圓心座標為(3a，a)．
又圓c與y軸相切，
∴半徑r＝|3a|，圓的標準方程為(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.
又過點a(6,1)，
∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，
即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.∴圓c的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.
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