第四章隨機變數的數字特徵
1． 單個隨機變數的期望
例1 設則
20. 知識點：單個離散型隨機變數的期望
隨機變數x的所有可能取值為0和x，且p=0.3,e(x)=1，則x=( )
a . b . c . d .1
答案：a
解： 返回：第四章隨機變數的數字特徵
例2 設x的分布密度為，則
2． 單個隨機變數函式的期望
設x為隨機變數，是普通函式，則是隨機變數，且
*例3 設x的分布如例1，求的期望
解： 例4 設x的分布密度如例2，求的期望
解： 當（其中）時，，即為x的方差
例5 設
則 ，
（方差大者，取值分散）
［注］：是重要常用公式
21．知識點：方差
設隨機變數x的分布律為
則d（x
a．0 b．1 c．2 d．3
答案：b
解：返回：2. 單個隨機變數函式的期望
例5 設隨機變數x具有概率密度，求dx
解：因是分段函式，故求時也要隨之分段積分
於是3．函式的期望
設是普通函式，則是隨機變數，其數學期望ez等於
例6 設分布律為
則22．知識點：期望
設二維隨機變數（x，y）的分布律為
,則e(xy
ａ. 0.6 ｂ. 0.30.20.1
答案: a
解 ：e(xy)=0×0.6+1×0.2+2×0.2=0.6
返回：3．函式的期望
例７ 設的分布密度，則
當時，其中，則
是x，y的協方差，即
重點）當時，其中
*為x，y的相關係數
期望的重要性質
（1） （常數）
（2）（3）
推廣：（4）若x，y相互獨立，則
方差的重要性質
（1），其中c為常數
（2）特別
（3）若x，y相互獨立，則
（4）例８ 設x，y相互獨立，且，則
23．知識點：方差的性質及常用隨機變數的方差
設隨機變數x服從引數為3的泊松分布，y~b（8，），且x，y相互獨立，
則d(x-3y-4)=（ ）
a．-13 b．15
c．19 d．23
答案：c
解： 返回：期望的重要性質
協方差的運算性質：
（1）（2），其中a，b為常數
（3）（4）若x，y相互獨立，則，從而，即x與y不相關
［注］：一般地，若x，y獨立，則x，y必不相關（即）；反之不真，即x，y不相關推不出x，y獨立。
重要特例是：若為正態分佈，則x，y獨立等價於x，y不相關（即）
例９ 設的分布律為求
解：易知
故，,， *
24. 知識點：相關係數
已知的分布律為，則
abcd.
答案: a
解：由題設易知x,y,xy皆具有0—1分布，故三者的期望是它們取1的概率。
即 ，進而知道
，進而知道
返回：協方差的運算性質
例１０ 設～，則 *
例１１ 設為連續型，則x與y不相關的充分必要條件是_______（選擇題）
（a）x，y獨立 （b） （c）
（d）～
解法1（排除法）：排除（a），因x，y獨立不相關（故非充要條件）；排除（b），這一等式成立不需任何條件；排除（d），由服從正態分佈及知x，y獨立，從而不相關，但並非正態場合才有這一結論故選（c）
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