第四章2.[二] 某產品的次品率為0.1，檢驗員每天檢驗4次。
每次隨機地抽取10件產品進行檢驗，如果發現其中的次品數多於1，就去調整裝置，以x表示一天中調整裝置的次數，試求e (x)。（設諸產品是否是次品是相互獨立的。）
解：設表示一次抽檢的10件產品的次品數為ξ
p=p（調整裝置）=p (ξ>1)=1－p (ξ≤1)= 1－[p (ξ=0)+ p (ξ=1)]
1－0.7361=0.2639.
因此x表示一天調整裝置的次數時x～b(4, 0.2639). p (x=0)=×0.26390×0.73614 =0.2936.
p (x=1)=×0.26391×0.73613=0.4210, p (x=2)=×0.26392×0.73612=0.2264.
p (x=3)=×0.26393×0.7361=0.0541, p (x=4)=×0.2639×0.73610=0.0049.從而
e (x)=np=4×0.2639=1.0556
3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的編號為1，2，3，4，將球逐個獨立地，隨機地放入4只盒子中去。設x為在其中至少有乙隻球的盒子的最小號碼（例如x=3表示第1號，第2號盒子是空的，第3號盒子至少有乙隻球），求e (x)。
∵ 事件 =++（右邊三個事件兩兩互斥）
∵事件「x=2」=「乙隻球裝入二號盒，兩隻球裝入三號或四號盒」+「兩隻球裝二號盒，乙隻球裝入三或四號盒」+「三隻球裝入二號盒」
同理：故5.[五] 設在某一規定的時間間段裡，其電氣裝置用於最大負荷的時間x（以分計）是乙個連續型隨機變數。其概率密度為
求e (x)
解：6.[六] 設隨機變數x的分布為
x －2 0 2
pk 0.4 0.3 0.3
求 e (x)， e (3x2+5)
解： e (x)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
e (x2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
e (3x2+5) = 3e (x2)+ e (5)= 8.4+5=13.4
7.[七] 設隨機變數x的概率密度為
求（1）y=2x （2）y=e－2x的數學期望。
解：（1）
（2）8.[八] 設（x，y）的分布律為
(1) 求e (x)，e (y )。
(2) 設z=y/x，求e (z )。
(3) 設z= (x－y )2，求e (z)。
解：（1）由x，y的分布律易得邊緣分布為
e(x)=1×0.4+2×0.2+3×0.4
=0.4+0.4+1.2=2.
e(y)= (－1)×0.3+0×0.4
+1×0.3=0.
（2） e (z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1
1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.
（3） e (z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5
10.[十] 一工廠生產的某種裝置的壽命x（以年計）服從指數分布，概率密度為工廠規定**的裝置若在一年內損壞，可予以調換。若工廠**一台裝置可贏利100元，調換一台裝置廠方需花費300元。
試求廠方**一台裝置淨贏
利的數學期望。
解：一台裝置在一年內損壞的概率為
故設y表示**一台裝置的淨贏利則故
11.[十一] 某車間生產的圓盤直徑在區間（a, b）服從均勻分布。試求圓盤面積的數學期望。
解：設x為圓盤的直徑，則其概率密度為
用y表示圓盤的面積，則
12.[十三] 設隨機變數x1，x2的概率密度分別為
求（1）e (x1+x2)，e (2x1－3)；（2）又設x1，x2相互獨立，求e (x1x2)
解：（1）
=（2）=（3）13.[十四] 將n只球（1～n號）隨機地放進n只盒子（1～n號）中去，乙隻盒子裝乙隻球。將乙隻球裝入與球同號的盒子中，稱為乙個配對，記x為配對的個數，求e(x )
解：引進隨機變數
i=1, 2, … n
則球盒對號的總配對數為
xi的分布列為
i=1, 2 …… n
i=1, 2 …… n
14.[十五] 共有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能開啟門上的鎖，用它們去試開門上的鎖。設抽取鑰匙是相互獨立的，等可能性的。
若每把鑰匙經試開一次後除去，試用下面兩種方法求試開次數x的數學期望。
（1）寫出x的分布律，（2）不寫出x的分布律。
解：（1）
（2）設一把一把鑰匙的試開，直到把鑰匙用完。
設 i=1, 2 …… n
則試開到能開門所須試開次數為
∵ e (xi)=
i=1, 2……n
∴15. （1）設隨機變數x的數學期望為e (x)，方差為d (x)>0，引入新的隨機變數（x*稱為標準化的隨機變數）：
驗證e (x* )=0，d (x* )=1
（2）已知隨機變數x的概率密度。
求x*的概率密度。
解：（1）
d (x* )= e [x*－e (x )* ]]2= e (x*2 )=
（2）16.[十六] 設x為隨機變數，c是常數，證明d (x )證明：∵ d (x )－e (x－c )2 = d (x2 )－[e (x )]2－[e (x2 )－2ce (x2 )+c2
e (x )]2－2ce (x2 )+c2}
e (x )－c ] 2<0，
∴當e (x )≠c時d (x )< e (x－c )2
17. 設隨機變數x服從指數分布，其概率密度為其中θ>0是常數，求e (x )，d (x )。解：又
d (x )= e (x 2 )－e 2 (x )=2θ2－θ2=θ2
21．設x1, x2 ,…, xn是相互獨立的隨機變數且有,i=1,2,…, n.記，.（1）驗證（2）驗證.（3）驗證e (s 2 )
證明：（1）
(利用數學期望的性質2°，3°)
(利用方差的性質2°，3°)
（2）首先證
於是（3）
23．[二十五] 設隨機變數x和y的聯合分布為：
驗證：x和y不相關，但x和y不是相互獨立的。
證p [x=1 y=1p [x=1]= p [y=1]=
p [x=1 y=1]≠p [x=1] p [y=1]
∴ x，y不是獨立的
又 e (x )=－1×+0×+1×=0
e (y )=－1×+0×+1×=0
cov(x, y )=e= e (xy )－ex·ey
1)(－1) +(－1)1×+1×(－1)×+1×1×=0
∴ x，y是不相關的
27．已知三個隨機變數x，y，z中，e (x )= e (y )=1, e (z )=－1，d (x )=d (y )=d (z )=1, ρxy=0 ρxz=，ρyz=－。設w=x+y+z 求e (w )，d (w )。
解：e (w )= e (x+y+z)= e (x )+ e (y )+ e (z )=1+1－1=1
d (w )= d (x+y+z)=ee2e
d (x )+d (y )+d (z )+2 cov(x, y )+ 2 cov(y, z )+ 2 cov(z, x )
d (x )+d (y )+d (z )+2
1+1+1+2×
26.[二十八] 設隨機變數（x1，x2）具有概率密度。
， 0≤x≤2, 0≤y≤2
求 e (x1)，e (x2)，cov（x1，x2），
解：d (x1+x2)= d (x1)+ d (x2)+2cov(x1, x2)
=28.[二十九]設x～n（μ，σ 2），y～n（μ，σ 2），且x，y相互獨立。試求z1= αx+βy和z2= αx－βy的相關係數（其中是不為零的常數）.
解：由於x，y相互獨立
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