1．（15分）已知函式f（x）=21nx+ax2﹣1 （a∈r）
（i）求函式f（x）的單調區間；
（ⅱ）若a=l，試解答下列兩小題．
（i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m對任意的0＜x＜l恆成立，求實數m的取值範圍；
（ii）若x1，x2是兩個不相等的正數，且以f（x1）+f（x2）=0，求證：x1+x2＞2．
2.（15分）設函式，；
（1）求證：函式在上單調遞增；
（2）設， ，若直線軸，求兩點間的最短距離.
3．（本小題滿分15分）
已知函式.
(ⅰ)是否存在點，使得函式的影象上任意一點p關於點m對稱的點q也在函式
的影象上？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由；
(ⅱ)定義，其中，求；
（ⅲ）在（2）的條件下，令，若不等式對，且恆成立，求實數的取值範圍.
4．（本小題滿分15分）
已知函式的定義域為，若在上為增函式，則稱為「一階比增函式」；
若在上為增函式，則稱為「二階比增函式」.我們把所有「一階比增函式」組成的
集合記為，所有「二階比增函式」組成的集合記為. [**
(ⅰ)已知函式，若且，求實數的取值範圍；
(ⅱ)已知，且的部分函式值由下表給出，
求證：；
(ⅲ)定義集合
請問：是否存在常數，使得，，有成立？若存在，求出的
最小值；若不存在，說明理由.
5.（本小題滿分12分）
已知函式f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.
（ⅰ）求函式f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；
（ⅱ）若函式y＝f(x)與y＝g(x)的圖象恰有乙個公共點，求實數a的值.
6.（本小題滿分12分）
設a≥0，函式f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]ex，g(x)＝2－a－x－.
（ⅰ）當a≥1時，求f(x)的最小值；
（ⅱ）假設存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值範圍.
7.（本小題滿分12分）設函式.
（ⅰ）證明：當，；
（ⅱ）設當時，，求的取值範圍.
8．（本小題滿分12分）：
已知函式
（1）當時，求的單調遞減區間；
（2）若當時，恆成立，求的取值範圍；
（3）求證：
9．（本小題14分）
已知函式
（1） 若曲線在和處的切線互相平行，求的值；
（2） 求的單調區間；
（3） 設若對任意均存在使得求的取值範圍。
10．（本小題14分）
設函式（），其中
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求函式的極大值和極小值；
（ⅲ）當時，證明存在，使得不等式對任意的恆成立
11. (2023年1月青浦)**(本題滿分18分)本題共3小題,第(1)小題4分,第(2)小題6分，第(3)小題8分.
設集合.
（1）已知函式，求證：;
（2）對於（1）中的函式，求證：存在定義域為的函式，使得對任意成立.
（3）對於任意，求證：存在定義域為的函式，使得等式
對任意成立.
12. 己知函式在處的切線斜率為
(1)求實數的值及函式的單調區間；
(2) 證明：
2.（1）時，，所以函式在上
單調遞增6分
（2）因為，所以8分
所以兩點間的距離等於，------9分
設，則，
記，則，
所以12分
所以在上單調遞增，所以14分
所以，即兩點間的最短距離等於315分
3.（1）假設存在點，使得函式的影象上任意一點p關於點m對稱的點q也在函式的影象上，則函式影象的對稱中心為.
由，得，
即對恆成立，所以解得
所以存在點，使得函式的影象上任意一點關於點m對稱的點也在函式的影象上. -------5分
（ⅱ）由（1）得.
令，則.
因為①，
所以②，
由①+②得，所以.
所以.-------10分
（ⅲ）由（2）得，所以.
因為當且時，.
所以當且時，不等式恆成立.
設，則.
當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增.
因為，所以，
所以當且時，.
由，得，解得.
所以實數的取值範圍是.-------15分
4.解：(ⅰ)且即在上是增函式， 分
而在不是增函式，而當是增函式時，
不是增函式時，，綜上分.
(ⅱ)且，則
，同理，則有
，，又，
而，， 分.
(ⅲ)對任意,存在常數，使得，對成立.先證明對成立，假設存在，使得，記.
是二階比增函式，即是增函式，時，，，
一定可以找到乙個，使得，這與對，矛盾.分
對成立. 即任意，對成立.
下面證明在上無解:假設存在，使得，一定存在，
，這與上面證明的結果矛盾，在上無解.
綜上，對任意，對成立，存在，任意，
有成立，..
5.（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝，
① 當0＜t＜時，函式f(x)在(t，)上單調遞減，在(，t＋2)上單調遞增，
此時函式f(x)在區間[t，t＋2]上的最小值為f()＝－；
② 當t≥時，函式f(x)在[t，t＋2]上單調遞增，
此時函式f(x)在區間[t，t＋2]上的最小值為f(t)＝tlnt.
（ⅱ）由題意得，f(x)－g(x)＝xlnx＋x2－ax＋2＝0在(0，＋∞)上有且僅有乙個根，即a＝lnx＋x＋在(0，＋∞)上有且僅有乙個根，
令h(x)＝lnx＋x＋，則h′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)，
易知h(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，
所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.
6.（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）f′(x)＝[x2＋(a－1)x－a]ex＝(x＋a)(x－1)ex，
∵ a≥1， ∴ 當x∈(－∞，－a)時，f(x)遞增，當x∈(－a，1)時，f(x)遞減，當x∈(1，＋∞)時，f(x)遞增.
∴ 函式f(x)的極大值點為x1＝－a，極小值點為x2＝1，
而f(1)＝(1－a)e≤0，f(－a)＝＞0，
令h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3，則其圖象的對稱軸為x＝＞－a，h(－a)＝a＋3＞0，
∴ 當x≤－a時，h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3＞0，∴ f(x)＞0.
當x＞－a時，f(x)的最小值為f(1)＝(1－a)e≤0.
∴ f(x)的最小值是(1－a)e.
（ⅱ）由（ⅰ）知，當a≥1時，f(x)在(0，＋∞)上的值域是[(1－a)e，＋∞)，當0≤a＜1時，f(x)在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞).
而g(x)＝2－a－x－≤3－a－2＝－a－1，當且僅當x＝1時，等號成立，
故g(x)在(0，＋∞)上的值域為(－∞，－a－1]，
∴ 當a≥1時，令(1－a)e－(－a－1)＜1，並解得a＞，
當0＜a＜1時，令0－(－a－1)＜1，無解.
因此，a的取值範圍是(，＋∞).
7.（ⅱ）由，注意到．
考點：導數法判斷函式的單調性、極值、最值. 分類討論.
8.9.
解：（1）
（2）①當a≤0時 ∵ax-1<0 ∵x>0
∴單增區間（0，2）單減區間（2，+∞）
②當∴單增區間：（0，2），（）
單減區間：（2，）
③當單增區間：
單減區間：
④(3)由已知只需
由已知g(x)max=0
由（2）可知 ①當②在
10. ①a=1時,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x
f(2)=-2, f/(2)=-5
∴切線方程：5x+y-8=0
②f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x
f/(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a)
令f/(x)=0解得
③由②知， 只要設
11.【證明】(**性理解水平/函式性質的綜合運用）
（1）由可得3分
因此.又，所以4分
（2）由=，
設函式，當時，≥2=28分
則10分
即存在定義域為的函式，使得等式對任意成立.
（3）當時，設=,則，
可得，解得12分
設函式=，當時，≥2=2. ………13分
則.……………………14分
當時，≤，==………16分
當時，>，=. ……………18分
即存在定義域為的函式，使得等式對任意成立.
12.解：（1）由已知：，∴由題知，解得a=1．
於是，當x∈(0，1)時，，f(x)為增函式，
當x∈(1，+∞)時，， f(x)為減函式，
即f(x)的單調遞增區間為(0，1)，單調遞減區間為(1，+∞)．
（2）要證明(n∈n*，n≥2)．
只須證，
只須證．
由（ⅰ）當時，，f(x)為減函式，
f(x)=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1， ∴ 當n≥2時，，
，<，∴ ．
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