2023年湖北高考理科數學試題逐題詳解 （純word解析版）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有乙個是符合題目要求的。
【2023年湖北卷（理01）】為虛數單位，
a. －1b.1cd.
【答案】a
【解析】
【2023年湖北卷（理02）】若二項式的展開式中的係數是84，則實數＝
a. 2bc.1d.
【答案】c
【解析】 因為，令，得，所以，解得a＝1.
【2023年湖北卷（理03）】設為全集，是集合，則「存在集合使得」是「」的
a. 充分而不必要的條件 b. 必要而不充分的條件
c. 充要條件d. 既不充分也不必要的條件
【答案】c
【解析】 依題意，若，則，當，可得；
若，不妨另，顯然滿足，故滿足條件的集合是存在的.
【2023年湖北卷（理04）】根據如下樣本資料
得到的回歸方程為，則
a. b. c. d.
【答案】 b
【解析】畫出散點圖如圖所示，y的值大致隨x的增加而減小，
因而兩個變數呈負相關，所以，
【2023年湖北卷（理05）】在如圖所示的空間直角座標系中，乙個四面體的頂點座標分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正檢視和俯檢視分別為
a.①和b.③和① c. ④和d.④和②
【答案】d
【解析】 在座標系中標出已知的四個點，根據三檢視的畫圖規則判斷三稜錐的正檢視為與俯檢視為，故選d.
【2023年湖北卷（理06）】若函式， 滿足，則稱，為區間[-1,1] 上的一組正交函式，給出三組函式：
①；②；③
其中為區間的正交函式的組數是（ ）
a.0 b.1 c.2 d.3
【答案】 c
【解析】 對，，則、為區間上的正交函式；
對，，則、不為區間上的正交函式；
對，，則、為區間上的正交函式.
所以滿足條件的正交函式有2組.
【2023年湖北卷（理07）】由不等式確定的平面區域記為，不等式，確定的平面區域記為，在中隨機取一點，則該點恰好在內的概率為（ ）
abcd.
【答案】 d
【解析】依題意，不等式組表示的平面區域如圖，
由幾何概型概率公式知，該點落在內的概率為.
【2023年湖北卷（理08）】.《算數書》竹簡於上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求「囷蓋」的術：置如其周，另相乘也。
又以高乘之，三十六成一。該術相當於給出了有圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那麼近似公式相當於將圓錐體積公式中的近似取為（ ）
abcd.
【答案】 b
【解析】 設圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，，，所以，即的近似值為
【2023年湖北卷（理09）】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的乙個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（ ）
abc.3d.2
【答案】 a
【解析】 設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為（），半焦距為，由橢圓、雙曲線的定義得，，所以，，
因為，由餘弦定理得，
所以，即，
所以，利用基本不等式可求得橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為.
【2023年湖北卷（理10）】已知函式是定義在上的奇函式，當時，，若，，則實數的取值範圍為（ ）
ab. cd.
【答案】 b
【解析】 依題意，當時，，作圖可知，的最小值為，因為函式為奇函式，所以當時的最大值為，因為對任意實數都有，，所以，，解得，
故實數的取值範圍是.
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。
【2023年湖北卷（理11）】設向量，，若，則實數________.
【答案】
【解析】因為，，
因為，所以，解得
【2023年湖北卷（理12）】直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則________.
【答案】2
【解析】依題意，圓心到兩條直線的距離相等，且每段弧的長度都是圓周的，圓心到的距離為，圓心到的距離為，即，，所以，故.
【2023年湖北卷（理13）】設是乙個各位數字都不是0且沒有重複數字的三位數.將組成的3個數字按從小到大排成的三位數記為，按從大到小排成的三位數記為（例如，則，）.閱讀如圖所示的程式框圖，執行相應的程式，任意輸入乙個，輸出的結果
【答案】495
【解析】當，則；
當，則；
當，則；
當，則，終止迴圈，故輸出
【2023年湖北卷（理14）】設是定義在上的函式，且，對任意，若經過點的直線與軸的交點為，則稱為關於函式的平均數，記為，例如，當時，可得，即為的算術平均數.
（1）當時，為的幾何平均數；
（2）當時，為的調和平均數；
（以上兩空各只需寫出乙個符合要求的函式即可）
【答案】（1）（2）
【解析】：（1）設，（x＞0），則經過點、的直線方程為，令y=0，求得，
∴當，（x＞0）時，為a，b的幾何平均數
（2）設，則經過點，的直線方程為，令，所以，
所以當時，為的調和平均數
【2023年湖北卷（理15）】（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，為⊙外一點，過作⊙的兩條切線，切點分別為，過的中點作割線交⊙於兩點，若則.
【答案】4
【解析】由切割線定理得，所以，.
【2023年湖北卷（理16）】（選修4-4：座標系與引數方程）
已知曲線的引數方程是，以座標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程是，則與交點的直角座標為_______.
【答案】
【解析】由消去得，由得，解方程組得與的交點座標為.
三．解答題：本大題共6小題，共 75分。解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
【2023年湖北卷（理17）】某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位;h）的變化近似滿足函式關係：
(1) 求實驗室這一天的最大溫差；
(2) 若要求實驗室溫度不高於11，則在哪段時間實驗室需要降溫？
【解析】（ⅰ）因為
又當時，；當時，。
於是在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故實驗室這一天最高溫度為12，最低溫度為8，最大溫差為4。
（ⅱ）依題意，當時實驗室需要降溫
由（1）得，故有
即。又，因此，即。
在10時至18時實驗室需要降溫。
【2023年湖北卷（理18）】已知等差數列滿足：＝2，且成等比數列.
（1） 求數列的通項公式.
（2） 記為數列的前項和，是否存在正整數，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.
（ⅱ）根據的通項公式表示出的前項和公式,令，解此不等式。
【解析】（1）設數列的公差為，依題意，成等比數列，故有
化簡得，解得或
當時，當時，從而得數列的通項公式為或。
（2）當時，。顯然
此時不存在正整數，使得成立。
當時，令，即，
解得或（捨去），
此時存在正整數，使得成立，的最小值為41。
綜上，當時，不存在滿足題意的；
當時，存在滿足題意的，其最小值為41。
【2023年湖北卷（理19）】如圖，在稜長為2的正方體中，分別是稜的中點，點分別在稜,上移動，且.
（1）當時，證明：直線平面;
（2）是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】以為原點，射線分別為軸的正半軸建立空間直角座標系。由已知得
（ⅰ）證明：當時，
因為，所以，即
而，且，故直線平面。
（ⅱ）設平面的乙個法向量為，則
由可得，於是可取
同理可得平面的乙個法向量為
若存在，使得平面與面所成的二面角為直二面角，
則，即解得
故存在，使平面與面所成的二面角為直二面角。
【2023年湖北卷（理20）】計畫在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和.單位：
億立方公尺）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低於80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，並假設各年的年入流量相互獨立.
(1)求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；
(2)水電站希望安裝的發電機盡可能執行，但每年發電機最多可執行台數受年入流量限制，並有如下關係：
若某台發電機執行，則該台年利潤為5000萬元；若某台發電機未執行，則該台年虧損800萬，欲使水電站年利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？
【解析】（ⅰ）依題意，，，
由二項分布，在未來4年中至多有一年的年入流量超過120的概率為
（ⅱ）記水電站年總利潤為
（1） 安裝1臺發電機的情形
由於水庫年入流量總大於40，故一台發電機執行的概率為1，對應的年利潤，
（2）安裝2臺發電機的情形
依題意，當時，一台發電機執行，此時，因此；當時，兩台發電機執行，此時，因此；由此得的分布列如下
所以，。
（3）安裝3臺發電機的情形
依題意，當時，一台發電機執行，此時，因此；當時，兩台發電機執行，此時，因此；當時，兩台發電機執行，此時，因此由此得的分布列如下
所以，。
綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺。
【2023年湖北卷（理21）】在平面直角座標系中，點m到點的距離比它到軸的距離多1，記點m的軌跡為c.
(1)求軌跡為c的方程
(2)設斜率為k的直線過定點，求直線與軌跡c恰好有乙個公共點，兩個公共點，三個公共點時k的相應取值範圍。
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