一、填空題（每題5分，滿分70分，將答案填在答題紙上）．
1.已知集合，，若，則 ▲ ．
2.若複數z =（為虛數單位），則 | z
3.已知雙曲線的離心率為，則實數m的值為 ▲ ．
4.乙個容量為20的樣本資料分組後，分組與頻數分別如下：，2；，3；，4；，5；，4；，2．則樣本在上的頻率是 ▲ ．
5.執行如圖所示的演算法流程圖，則最後輸出的等於 ▲ ．
6.設函式，若，則的值為 ▲ ．
7.四稜錐p abcd 的底面abcd是邊長為2的正方形，pa⊥底面abcd且pa = 4，則pc與底面abcd所成角的正切值為 ▲ ．
8.從甲，乙，丙，丁4個人中隨機選取兩人，則甲乙兩人中有且只有乙個被選取的概率為 ▲ ．
9.已知，，則的值為 ▲ ．
10.設等差數列的前項和為，若，，，則正整數
11.已知正數滿足，則的最小值為 ▲ ．
，當且僅當，即，也即時等號成立，故最小值是9．
考點：基本不等式．
12.如圖，在△abc中，bo為邊ac上的中線，，設∥，若，則的值為 ▲ ．
13.已知函式，若函式恰有兩個不同的零點，則實數的取值範圍為 ▲ ．
【答案】
【解析】
14.在平面直角座標系中，已知點在圓內，動直線過點且交圓於兩點，若△abc的面積的最大值為，則實數的取值範圍為 ▲ ．
，所以，解得或，因此的取值範圍是
或．考點：點與圓的位置關係，圓心到弦的距離．
二、解答題 （本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15.（本小題滿分14分）
設函式．
（1）求的最小正週期和值域；
（2）在銳角△中，角的對邊分別為，若且，，求和．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】
在△abc中，由正弦定理得12分
14分考點：(1)三角函式的性質；(2)解三角形．
16.（本小題滿分14分）
如圖，在三稜柱中，側面為菱形， 且，，是的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求證：∥平面．
【答案】(1)證明見解析；(2)見解析．
【解析】
17.（本小題滿分14分）
乙個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現要把其中乙個部分加工成直四稜柱木樑，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中o為圓心，在半圓上），設，木樑的體積為v（單位：m3），表面積為s（單位：m2）．
（1）求v關於θ的函式表示式；
（2）求的值，使體積v最大；
（3）問當木樑的體積v最大時，其表面積s是否也最大？請說明理由．
【答案】(1) ；(2)；（3）是.
【解析】
試題分析：（1）本題求直四稜柱的體積，關鍵是求底面面積，我們要用底面半徑1和表示出等腰梯形的上底和高，從圖形中可知高為，而，因此面積易求，體積也可得出；（2）我們在（1）中求出，這裡的最大值可利用導數知識求解，求出，解出方程
當時，，為增函式；
當時，，為減函式7分
∴當時，體積v最大8分
（3）木樑的側面積=，．
10分設，．∵，
∴當，即時，最大12分
又由（2）知時，取得最大值，
所以時，木樑的表面積s最大13分
綜上，當木樑的體積v最大時，其表面積s也最大14分
考點：（1）函式解析式；（2）用導數求最值；（3）四稜柱的表面積及其最值.
18.（本小題滿分16分）
如圖，在平面直角座標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點c的座標；
（3）設動點在橢圓上（異於點，，）且直線pb，pc分別交直線oa於，兩點，證明為定值並求出該定值．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ．
【解析】
試題解析：（1）由已知，得解得2分
所以橢圓的標準方程為3分
∴為定值，定值為16分
考點：(1)橢圓的標準方程；(2)中點問題；(3)定值問題．
19.（本小題滿分16分）
設各項均為正數的數列的前n項和為sn，已知，且對一切都成立．
（1）若λ = 1，求數列的通項公式；
（2）求λ的值，使數列是等差數列．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
化簡，得4分
∴當時，．②
② ①，得6分
∵當n = 1時， ，∴n = 1時上式也成立，
∴數列是首項為1，公比為2的等比數列， an = 2n18分
（2）令n = 1，得．令n = 2，得10分
要使數列是等差數列，必須有，解得λ = 011分
當λ = 0時，，且．
當n≥2時，，
整理，得13分
從而，化簡，得，所以15分
綜上所述，（），
所以λ = 0時，數列是等差數列16分
考點：遞推公式，累乘法，與的關係，等差數列．
20.（本小題滿分16分）
已知函式，其中m，a均為實數．
（1）求的極值；
（2）設，若對任意的，恆成立，求的最小值；
（3）設，若對任意給定的，在區間上總存在，使得成立，求的取值範圍．
【答案】(1)極大值為1，無極小值；(2) 3 ；(3) ．
【解析】
成立」，轉化為函式在區間上不是單調函式，極值點為（），其次，極小值，最後還要證明在上，存在，使，由此可求出的範圍.
設，∵=，x[3，4]，
∴，∴< 0，為減函式．
∴在[3，4]上的最大值為v(3) = 38分
∴a≥3 ，∴的最小值為39分
（3）由（1）知在上的值域為10分
∵，，當時，在為減函式，不合題意11分
考點：導數的應用，求單調區間，極值，求函式的值域，不等式恆成立等函式的綜合應用.
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