數學（理科）試卷
注意事項：
1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請在答題卷內填寫學校、班級、學號、姓名；
2．本試卷分為第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
第ⅰ卷 （選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題所給的四個答案中有且只有乙個答案是正確的．請將答案填塗在答題卡的相應位置．
1．執行右邊的程式框圖，若輸入的為3，則輸出的結果是
a．8b．6c．1d．
2．已知集合，集合，則「」是「」的
a．充分且不必要條件b．必要且不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
3．函式是
a．最小正週期為的奇函式 b．最小正週期為的偶函式
c．最小正週期為2的奇函式 d．最小正週期為2的偶函式
4．學校為了了解學生每天課外閱讀的時間（單位：分鐘），抽取了個學生進行調查，結果顯示這些學生的課外閱讀時間都在[10,50)，其頻率分布直方圖如圖所示，其中課外閱讀時間在[30,50)的學生有67人，則的值是
a． b． c． d．
5．已知點在拋物線上，且到軸的距離與到焦點的距離之比為，則到軸的距離是
a． b．1cd．2
6．已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題正確的是
a．，，則 b．，，則
c．，，則 d．，，則
7．設是平面內的兩個不共線向量，，（，），若， ， 三點共線，則的最小值是
a．2b．4c．6d．8
8．已知滿足且的最小值為，則正實數的取值範圍是
ab． c． d．
9．已知是實數，則函式的圖象不可能是
abcd
10．如圖，在平面直角座標系中，圓a：，點b，點d是圓a上的動點，線段bd的垂直平分線交線段ad於點f．設，分別為點f，d的橫座標，定義函式，給出下列結論：
是偶函式；
③在定義域上是增函式； ④圖象的兩個端點關於圓心a對稱.
其中正確的個數是
a．1b．2c．3d．4
第ⅱ卷 （非選擇題共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每題4分，共20分．請將答案填寫在答題卡的相應位置．
11．若複數滿足，則複數等於
12．二項式的展開式中常數項等於 ．
13．已知數列中，，，則數列的前項和等於
14．記曲線與圍成的區域為，若利用計算機產生內的兩個均勻隨機數，則點恰好落在區域內的概率等於 ．
15．已知函式，則滿足不等式的實數的取值範圍是
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟．請在答題卡的相應位置作答．
16．（本小題滿分13分）
如圖，四邊形和四邊形都是直角梯形，，，，且平面平面，，.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.
17．（本小題滿分13分）
甲乙二人比賽投籃，每人連續投3次，投中次數多者獲勝．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率是；乙每次投中的概率都是．甲乙每次投中與否相互獨立．
（ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；
（ⅱ）在比賽前，從勝負的角度考慮，你支援誰？請說明理由．
18．（本小題滿分13分）
已知函式
（ⅰ）若，求函式的單調遞增區間；
（ⅱ）對任意的正實數，關於的方程恒有實數解，求實數的取值範圍．
19．（本小題滿分13分）
某度假區以2023年索契冬奧會為契機，依山修建了高山滑雪場．為了適應不同人群的需要，從山上a處到山腳滑雪服務區p處修建了滑雪賽道a-c-p和滑雪練習道a-e-p（如圖）．已知，， ，公路ap長為10（單位：百公尺），滑道ep為6（單位：百公尺）．
（ⅰ）求滑道cp的長度；
（ⅱ）由於c，e處是事故的高發區，為及時處理事故，度假區計畫在公路ap上找一處d，修建連線道dc、de．問dp多長時，才能使連線道最短，最短為多少百公尺？
20．（本小題滿分14分）
如圖，點,分別是橢圓的左、右頂點，圓經過橢圓的左焦點.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）過a作直線與軸相交於點，與橢圓e相交於點(異於a).
（ⅰ）求的取值範圍；
（ⅱ）是否存在定圓，使得以為圓心，為半徑的圓始終內切於圓．若存在，求出圓的方程；若不存在，說明理由．
21．本題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，共14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知點在矩陣（）對應的變換作用下得到點．
（ⅰ）求矩陣；
（ⅱ）求矩陣的特徵值及屬於每個特徵值的乙個特徵向量．
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極座標系, 已知圓的極座標方程為：，直線的引數方程為： （為引數）.
（ⅰ）寫出圓的直角座標方程；
（ⅱ）若點為圓上的動點，求點到直線距離的最大值．
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
已知函式（）．
（ⅰ）若，求不等式的解集；
（ⅱ）若不等式在上恆成立，求實數的取值範圍．
廈門市2014屆高三3月質量檢查數學（理科）
參***及評分標準
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題所給的四個答案中有且只有乙個答案是正確的．請將答案填塗在答題卡的相應位置．
1~10：dabad cbacc
8．提示：當取最小值8時，；點滿足第三個不等式即可．
9．提示：對引數分類，當，；，用極限思想，當時，，
時，，故選
10．提示：①正確．
②錯．函式，不關於原點對稱，因此沒有奇偶性．
③正確．觀察圖形，點向右移動，點也向右移動．
④正確．觀察圖形，當點移動到圓與軸的左、右交點時，分別得到函式圖象的左端點、右端點．
二、填空題：本大題共5小題，每題4分，共20分．請將答案填寫在答題卡的相應位置．
11. 12. 13. 14. 15.
15．提示：設， 不難研究出為偶函式，且在單調遞增，.
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟．請在答題卡的相應位置作答．
16．本題考查立體幾何中的線面位置關係、空間角、空間向量等基礎知識；考查運算求解能力、空間想象能力、等價轉化能力；考查數形結合、化歸與轉化等數學思想．滿分13分．
（ⅰ）證明1分
又平面平面，平面平面，
平面4分
平面6分
（ⅱ）解法一：平面，，
以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角座標系，如圖所示7分，8分
設平面的法向量，
， ，
令得平面的乙個法向量10分
又12分
∴直線與平面所成角的正弦值是13分
解法二：設點到平面的距離為，直線與平面所成角為
9分 連線，則，
11分12分直線與平面所成角的正弦值是13分
17. 本題考查概率統計中的相互獨立事件同時發生的概率、二項分布、數學期望等基礎知識；考查資料處理能力、運算求解能力、應用意識；考查必然與或然思想．滿分13分．
解：（1）記事件：乙第次投中，，則，事件相互獨立
（乙直到第3次才投中3分
5分（2）設甲投中的次數為，乙投中的次數為，則~，
乙投中次數的數學期望7分
的可能取值是8分
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