2023年3月新中高階中學第二學期高三數學月考試題（理科）
一．填空題（每小題4分，共56分）：
1.若，則的定義域為
2．已知是非空集合，命題甲：，命題乙：，甲是乙的條件（填充分非必要，必要非充分，充分必要，既不充分也不必要）
3. 若純虛數z滿足_________
4.等差數列中，已知，，，則
5．已知，則的值為
6．的展開式中的常數項是用數字作答）
7．如圖為乙個演算法的程式框圖，則其輸出結果是
8．函式在定義域內的零點的個數為
9.在直角中，，，，為斜邊的中點，則
10.若雙曲線的一條漸近線方程為，則以雙曲線的頂點和焦點分別為焦點和頂點的橢圓方程為
11．已知命題「存在」是真命題，則實數的取值範圍是
12．設是實數．若函式是定義在上的奇函式, 但不是偶函式, 則函式的遞增區間為
13.（理） 如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd為直角梯形，且ad//bc，，側稜底面abcd，若ab=bc=，則cd與平面pac所成的角為
14．如圖，線段ab=8，點c**段ab上，且ac=2，p為線段cb上一動點，點a繞著c旋轉後與點b繞點p旋轉後重合於點d，設的面積為，則的最大值為
二．選擇題（每小題4分，共16分）：
15. 函式的影象
a． 關於原點對稱b. 關於主線對稱
c. 關於軸對稱d. 關於直線對稱
16. 從集合中隨機選取乙個數記為，從集合中隨機選取乙個數記為，則直線不經過第三象限的概率為
abcd.
17. 在△abc中，分別為角a，b，c的對邊，若垂直且，當△abc面積為時，則b等於（ ）
ab．4cd．2
18.設是定義在上的奇函式，且當時，. 若對任意的，不等式恆成立，則實數的取值範圍是
a. b. c. d.
三．解答題（本大題滿分78分）
19．（本題滿分14分．第（1）小題7分，第（2）小題7分）
在中，角的對邊分別為，是該三角形的面積，
（1）若，，，求角的度數；
（2）若，，，求的值.
20．（本題滿分14分．第（1）小題8分，第（2）小題6分）
如圖，在五面體abcdef中，fa 平面abcd, ad//bc//fe，abad， af=ab=bc=fe=ad=2
(1)求二面角a-cd-e的大小
(2)求五面體abcdef的體積
21．（本題滿分16分．第（1）小題8分，第（2）小題8分）
如圖，為乙個等腰三角形形狀的空地，腰的長為(百公尺)，底的長為(百公尺)．現決定在該空地內築一條筆直的小路(寬度不計)，將該空地分成乙個四邊形和乙個三角形，設分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為和.
(1) 若小路一端為的中點，求此時小路的長度；
(2) 求的最小值．
22．（本題滿分16分．第（1）小題7分，第（2）小題9分）
已知方向向量為的直線l過橢圓的焦點以及點，直線l與橢圓c交於 a 、b兩點，且a、b兩點與另一焦點圍成的三角形周長為.
(1)求橢圓c的方程
(2)過左焦點且不與x軸垂直的直線m交橢圓於m、n兩點，當（o座標原點），求直線m的方程
23．（本題滿分18分．第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
已知等比數列的首項，數列前n項和記為，。
（1）求等比數列的公比
（2）求數列的最大項和最小項；
（3）證明中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列，如果所有這些等差數列的公差構成乙個數列，證明:數列為等比數列。
2023年3月新中高階中學第二學期高三數學月考試題
一．填空題（每小題4分，共56分）：
1.若，則的定義域為
2.已知非空集合，命題甲：；命題乙：.甲是乙的必要非充分條件
3. 若純虛數z滿足
4.等差數列中，已知，，，則15
5．已知，則的值為
6．的展開式中的常數項是 15 （用數字作答）
7．如圖為乙個演算法的程式框圖，則其輸出結果是 0
8．函式在定義域內的零點的個數為 2個
9.在直角中，，，，為斜邊的中點，則= -1
10.若雙曲線的一條漸近線方程為，則以雙曲線的頂點和焦點分別為焦點和頂點的橢圓方程為
11．已知命題「存在」是真命題，則實數的取值範圍是 a<-1或a>1__
12．設是實數．若函式是定義在上的奇函式, 但不是偶函式, 則函式的遞增區間為 [-1,1]
13.(文)如圖，三稜柱abc-a1b1c1的側稜長和底面邊長均為2，且側稜aa1底面abc，其正（主）檢視是邊長為2的正方形，則此三稜柱側（左）檢視的面積為
（理） 如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd為直角梯形，且ad//bc，，側稜底面abcd，若ab=bc=，則cd與平面pac所成的角為
14．如圖，線段ab=8，點c**段ab上，且ac=2，p為線段cb上一動點，點a繞著c旋轉後與點b繞點p旋轉後重合於點d，設的面積為，則的最大值為
二．選擇題（每小題4分，共16分）：
15. 函式的影象a ）
a． 關於原點對稱b. 關於主線對稱
c. 關於軸對稱d. 關於直線對稱
16. 從集合中隨機選取乙個數記為，從集合中隨機選取乙個數記為，則直線不經過第三象限的概率為a )
abcd.
17. 在△abc中，分別為角a，b，c的對邊，若垂直且，當△abc面積為時，則b等於（ d ）
ab．4cd．2
18.設是定義在上的奇函式，且當時，. 若對任意的，不等式恆成立，則實數的取值範圍是a )
a. b. c. d.
三．解答題（本大題滿分78分）
19．（本題滿分14分．第（1）小題7分，第（2）小題7分）
在中，角的對邊分別為，是該三角形的面積，
（1）若，，，求角的度數；
（2）若，，，求的值.
解：（1）
（2得20．（本題滿分14分．第（1）小題8分，第（2）小題6分）
如圖，在五面體abcdef中，fa 平面abcd, ad//bc//fe，abad， af=ab=bc=fe=ad=2
(1)（文）求異面直線bf與de所成的角的大小
（理）求二面角a-cd-e的大小
（2）求五面體abcdef的體積
解：(1)(文) ∵bf//ce
∴∠ced是異面直線bf與de所成的角（或補角）
又ce=cd=de=
∴ ∠ced=
∠ced是異面直線bf與de所成的角為
（理）以ab、ad、af分別為x、y、z軸建立空間直角座標系
平面acd的法向量
設平面cde的法向量
令得設二面角a-cd-e的大小為，則：
∴二面角a-cd-e的大小為
（2）21．（本題滿分16分．第（1）小題8分，第（2）小題8分）
如圖，為乙個等腰三角形形狀的空地，腰的長為(百公尺)，底的長為(百公尺)．現決定在該空地內築一條筆直的小路(寬度不計)，將該空地分成乙個四邊形和乙個三角形，設分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為和.
(1) 若小路一端為的中點，求此時小路的長度；
(2) 求的最小值．
解：(1) ∵ e為ac中點，∴ ae＝ce＝.
∵＋3＜＋4，∴ f不在bc上．
若f在ab上，則ae＋af＝3－ae＋4－af＋3，∴ ae＋af＝5.
∴ af＝＜4.
在△abc中，cosa＝.
在△aef中，ef2＝ae2＋af2－2ae·afcosa＝＋－2×××＝，
∴ ef＝ 即小路一端e為ac的中點時小路的長度為(百公尺)．
(2) 若小道的端點e、f點都在兩腰上，如圖，設ce＝x，cf＝y，
則x＋y＝5，
＝＝－1
＝－1＝－1≥＝ (當x＝y＝時取等號)；
若小道的端點e、f分別在一腰(不妨設腰ac)上和底上，
設ae＝x，af＝y，則x＋y＝5，
＝＝－1＝－1≥＝ (當x＝y＝時取等號)
答：最小值是.
22．（本題滿分16分．第（1）小題7分，第（2）小題9分）
已知方向向量為的直線l過橢圓的焦點以及點，直線l與橢圓c交於 a 、b兩點，且a、b兩點與另一焦點圍成的三角形周長為.
(1)求橢圓c的方程
(2)（文）過左焦點且不與x軸垂直的直線m交橢圓於m、n兩點，當的面積為時（o座標原點），求直線m的方程
（理）過左焦點且不與x軸垂直的直線m交橢圓於m、n兩點，當（o座標原點），求直線m的方程
解：（1）
直線與x軸交點即為橢圓的右焦點 ∴c=2
由已知⊿周長為，則4a=，即，所以
故橢圓方程為
（2）橢圓的左焦點為，則直線m的方程可設為
代入橢圓方程得：
設∵所以，，即
又原點o到m的距離，
則解得23．（本題滿分18分．第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
已知等比數列的首項，數列前n項和記為，。
（1）求等比數列的公比
（2）求數列的最大項和最小項；
（3）證明中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列，如果所有這些等差數列的公差構成乙個數列，證明:數列為等比數列。
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