重慶南開中學高2016級高三（上）12月月考
數學試題（理科）
本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
第i卷（選擇題共60分）
一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、已知集合，則（ ）
abcd、
2、拋物線的焦點到準線的距離為（ ）
abc、2d、4
3、已知命題對任意，有，則（ ）
a、存在，使b、對任意，有
c、存在，使d、對任意，有
4、若為圓的弦的中點，則直線的方程為（ ）
ab、cd、5、等比數列的前項和為，且成等差數列，若，則（ ）
a、7b、8c、15d、16
6、已知函式，若將函式的影象向左平移個單位後所得影象對應的函式為偶函式，則實數（ ）
abcd、
7、已知為區域內的任意一點，當該區域的面積為2時，的最大值是（ ）
a、5b、0c、2d、
8、已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合，若拋物線與該橢圓在第一象限的交點為，橢圓的左焦點為，則（ ）
abcd、2
9、已知函式的導函式為，若使得成立的，則實數的取值範圍為（ ）
a、 bcd、
10、正三角形內一點滿足，則的值為（ ）
a、 bcd、
11、已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交於兩點，若，且，則雙曲線的離心率（ ）
a、 bc、 d、
12、已知數列滿足：，則（ ）
a、 bcd、
第ii卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在答題卡相對應位置上。
13、已知向量，若，則實數
14、若實數滿足，且，則的最大值為
15、已知，若函式在上有兩個不同零點、，則
16、設點是橢圓上兩點，若過點且斜率分別為的兩直線交於點，且直線與直線的斜率之積為，，則的最小值為
三、解答題：本大題共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、（本小題滿分12分）
設等差數列的前項和為，，。
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列的前項和為，求證：。
18、（本小題滿分12分）
在中，已知角、、的對邊分別為，且。
（1）求的大小；
（2）若，試判斷的形狀。
19、（本小題滿分12分）
已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為。
（1）若過點的直線與拋物線有且只有乙個交點，求直線的方程；
（2）若直線與拋物線交於、兩點，求的面積。
20、（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，，點為橢圓上任意一點，且面積最大值為。
（1）求橢圓的方程；
（2）過作垂直於軸的直線交橢圓於、兩點（點在第一象限），、是橢圓上位於直線兩側的動點，若，求證：直線的斜率為定值。
21、（本小題滿分12分）
已知函式。
（1）當時，求函式在上的極值；
（2）若，求證：當時，。
（參考資料：）
請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號。
22、（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
已知中，為外接圓劣弧上的點（不與點、重合），延長，延長的延長線於。
（1）求證：；
（2）求證：。
23、（本小題滿分10分）選修4-4：極座標系與引數方程
在直角座標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系。已知曲線（為引數），（為引數）。
（1）將的方程化為普通方程，並說明它們分別表示什麼曲線；
（2）若上的點對應的引數為，為上的動點，求中點到直線：的距離的最大值。
24、（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函式。
（1）解不等式；
（2）已知，若恒成立，求實數的取值範圍。
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