湖北省襄陽市普通高中2023年3月高三調研統一測試數學試題（理）
本試卷全卷滿分150分。考試時間120分鐘。
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．複數表示復平面內的點位於（ ）
a．第一象限b．第二象限c．第三象限 d．第四象限
2．甲、乙兩名籃球運動員在某幾場比賽得分的莖葉圖如圖所示，
則甲、乙兩從這幾場比賽得分的中位數之和是
a．63b．64 c．65d．66
3．已知向量，若向量與向量共線，則實數等於
a．-2 b． c．-1 d．
4．二項式的展開式中常數項是
a．-28 b．-7 c．7 d．28
5．平面內動點與a（-2，0），b（2，0）兩點連線的斜率之積為，動點p的軌跡方程為
a． b． c． d．
6．已知變數x、y滿足，則的最大值為（ ）a．2 b． c． d．1
7．如圖，設a、b兩點在河的兩岸，一測量者在a的同側，在所在的河岸邊洗定一點c，測出ac的距離為50m，，後，就可以計算出a、b兩點的距離為 （ ）
a． b． c． d．
8．關於直線以及平面m、n，下面命題中正確的是
a．若b．若
c．若d．若，則
9．右面是「二分法」解方程的流程圖。在①~④處應填寫的內容分別是（ ）
a．，是，否b．，是，否c．，是，否d．，否，是
10．若函式在給定區間m上存在正數t，使得對於任意，有，且，則稱為m上的t級類增函式。以下命題中真命題是
a．函式上的1級類增函式
b．函式上的1級類增函式
c．若函式上的級類增函式，則實數a的最小值為2
d．若函式上的t級類增函式，則實數t的取值範圍為
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，25分。將答案填在答題卡相應位置上。）
11．曲線與x軸所圍成的面積圖形面積為 。
12．已知某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為
13．已知命題恆成立，命題為減函式，若p且q為真命題，則a的取值範圍是
14．（考生注意：請在下列兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分）
a．（座標系與引數方程選做題）極座標系中，圓上的動點到直線的距離的最大值是 。
b．（幾何證明選講選做題）如圖，已知內接於，點d在oc的延長線上，ad是的切線，若，ac=2，則od的長為
15．「無字證明」（proofs without words）就是將數學命題用簡單、有創意而且易於理解的幾何圖形來呈現。請利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關係，寫出該圖所驗證的乙個三角恒等變換公式
三、解答題（本大題共5小題，滿分65分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（本大題滿分12分） 已知函式（其中）的最大值為2，直線是的圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為
（1）求的值；
（2）若的值。
17．（本大題滿分12分） 已知數列的前n項和為，若
（1）求證：為等比數列；
（2）求數列的前n項和。
18．（本大題滿分12分） 為了減少交通事故，某市在不同路段對機動車時速有不同的限制，在限速為70km？h的某一路段上，流動測速車對經過該路段的100輛機動車進行測速，下圖是所測100輛機動車時速的頻率分布直方圖。
（1）估計這100輛機動車中，時速超過限定速度10%以上（包括10%）的機動車輛數；
（2）該市對機動車超速的處罰規定如下：時速超過限定速度10%（包括10%）以上不足20%的處100元罰款；超過限定速度20%（包括20%）以上不足50%的處200元罰款；……。設這一路段中任意一輛機動車被處罰金額為x（單位：
元），求x的分布列和數學期望（以被測的100輛機動車時速落入各組的頻率作為該路段中任意一輛機動車時速落入相應組的頻率。）
19．（本大題滿分13分） 如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是菱形，平面abcd，e是pc的中點，f是ab的中點。
（1）求證：be//平面pdf；
（2）求證：平面平面pab；
（3）求平面pab與平面pcd所成的銳二面角的大小。
20．（本大題滿分14分）
已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點p（4，0）且不垂直於x軸直線與橢圓c相交於a、b兩點。
（1）求橢圓c的方程；
（2）求的取值範圍；
（3）若b點在於x軸的對稱點是e，證明：直線ae與x軸相交於定點。
21．（本大題滿分14分）
已知函式
（1）若x=2為的極值點，求實數a的值；
（2）若在上為增函式，求實數a的取值範圍；
（3）當時，方程有實根，求實數b的最大值。
17．(1)解：由得：
∴，即 2分
∴ 4分
又因為，所以a1 =－1，a1－1 =－2≠0，
∴是以－2為首項，2為公比的等比數列． 6分
(2)解：由(1)知，，即 8分
∴ 10分
故． 12分
18．(1)解：由題意，超過限定速度10%的時速為70×(1 + 10%) = 77(km/h)
由頻率分布直方圖得，時速在[77，80)中的車輛數為
時速在[80，90)中的車輛數為0.004×10×100 = 4
時速在[90，100]中的車輛數為0.002×10×100 = 2 4分
∴估計在這100輛機動車中，時速超過限定速度10%以上(包括10%)的車輛數為
6 + 4 + 2 = 12 5分
(2)解：由題意，超過限定速度20%的時速為70×(1 + 20%) = 84(km/h)
超過限定速度50%的時速為70×(1 + 50%) = 105(km/h)
x的可能取值為0，100，200
p(x = 0) = 1－0.02－0.04－0.20×0.3 = 0.88
p(x = 100) = 0.20×0.3 + 0.04×0.4 = 0.076
p(x = 200) = 0.040×0.6 + 0.02 = 0.044 10分
20．(1)解：由題意知，∴，即
又，∴故橢圓的方程為 2分
(2)解：由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為
由得： 4分
由得：設a(x1，y1)，b (x2，y2)，則 ① 6分
∴21．(1)解： 1分
因為x = 2為f (x)的極值點，所以 2分
即，解得：a = 0 3分
又當a = 0時，，從而x = 2為f (x)的極值點成立． 4分
(2)解：∵f (x)在區間[3，+∞)上為增函式，
∴在區間[3，+∞)上恆成立． 5分
①當a = 0時，在[3，+∞)上恆成立，所以f (x)在[3，+∞)上為增函式，故a = 0符合題意． 6分
②當a≠0時，由函式f (x)的定義域可知，必須有2ax + 1 > 0對x≥3恆成立，故只能a > 0，
所以在區間[3，+∞)上恆成立． 7分
令，其對稱軸為 8分
∵a > 0，∴，從而g (x)≥0在[3，+∞)上恆成立，只要g (3)≥0即可，
由，解得： 9分
∵a > 0，∴．
綜上所述，a的取值範圍為[0，] 10分
(3)解：時，方程可化為，．
問題轉化為在(0，+∞)上有解 11分
令，則 12分
當0 < x < 1時，，∴h (x)在(0，1)上為增函式
當x > 1時，，∴h (x)在(1，+∞)上為減函式
故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故
即實數b的最大值是0． 14分
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