高等數學（下）3
標準試卷及其答案
一、填空題（每小題3分，共計15分）
1．設由方程確定，則。
2．函式在點沿方向(4,0,-12的方向導數最大。
3．為圓周，計算對弧長的曲線積分=。
4．已知曲線上點處的切線平行於平面，則點的座標為或。
5．設是週期為2的週期函式，它在區間的定義為，則的傅利葉級數在收斂於。
二、解答下列各題（每小題7分，共35分）
1． 設連續，交換二次積分的積分順序。
解：2． 計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域。
解：3． 設是由球面與錐面圍成的區域，試將三重積分化為球座標系下的三次積分。
解：4． 設曲線積分與路徑無關，其中具有一階連續導數，且，求。
解：，。由與路徑無關，得，即。解微分方程，得其通解。又，得。故5． 求微分方程的通解。
解：的通解為。
設原方程的乙個特解，代入原方程，得。其通解為三、(10分)計算曲面積分，其中∑是球面的上側。
解：補上下側。
四、(10分)計算三重積分，其中由與圍成的區域。
解：五、(10分)求在下的極值。
解：令，得。，為極小值點。故在下的極小值點為，極小值為。
六、(10分)求有拋物面與平面所圍立體的表面積。
解：的面積為
平面部分的面積為。故立體的表面積為。
七、(10分)求冪級數的收斂區間與和函式。
解：收斂區間為。設，。故。
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高數下冊複習
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