北京林業大學2008--2009學年第二學期考試試卷
課程名稱： 高等數學b （a卷） 課程所在學院： 理學院
考試班級學號姓名成績
試卷說明：
1. 本次考試為閉卷考試。本試卷共計 4 頁，共十三大部分，請勿漏答；
2. 考試時間為 120分鐘，請掌握好答題時間；
3. 答題之前，請將試卷和答題紙上的考試班級、學號、姓名填寫清楚；
4. 本試卷所有答案均寫在試卷上；
5. 答題完畢，請將試卷和答題紙正面向外對疊交回，不得帶出考場；
6. 考試中心提示：請你遵守考場紀律，誠信考試、公平競爭！
一、 填空：（每小題3分，共30分）
1.的定義域為
2. 設，則
3. 曲面在點的切平面方程 x+2y-z-4=0
4. 微分方程的通解為 y-lny=lnx+c
5. 過點（1，1，1）且與直線垂直的平面方程為 x+3y+4z-8=0
6. 在座標面上的曲線繞軸旋轉一周所得旋轉曲面方程為
7. 交換二次積分的積分順序，則
8. 設為正實數，若級數收斂，則的取值範圍是__p>2
9. 0是級數收斂的必要條件（充分？必要？充分且必要？非充分且非必要？）.
10.函式在點處偏導數存在且連續是該函式全微分存在的充分條件（充分？必要？充分且必要？非充分且非必要？）。
二、（6分）求微分方程滿足初始條件的解
解:由，得， 所求解為
三、（6分）（1）求微分方程的通解，
（2）寫出特解的形式（不求解）。
解：（1）特徵方程，
齊次方程的通解
（2）特解
四、（6分）求過與平面平行且與直線
垂直的直線方程
解：記平面的法向量，
已知直線的方向向量為
所求直線的方向向量為
所求直線方程為
五、（6分）求由方程所確定的隱函式z = z ()在點（1，1）處的全微分
解：x=1,y=1時，z=1
， 六、（6分），又具有連續的二階導數，求
解：；七、（6分）（6分）計算二重積分其中
解： 八、（6分）計算，其中。
解：，九、（6分）計算:
，所確定
解：十、（6分）判定級數的斂散性
解： 所以，當ae時，原級數發散；
當a=e時，由於所以，故，此時原級數發散。
十一、（6分）求冪級數的收斂域與和函式
解： 當x=-5時，原級數為，由調和級數斂散性知，此級數發散
當x=5時，原級數為，由交錯級數的萊布尼茲判別定理知，此級數收斂
所以，原級數的收斂域為（-5，5]
記， （-5，5]
（-5，5]
十二、（5分）試將函式展開為的冪級數
由於而所以 。
十三、（4分）設，（1）求級數的和；（2）試證：對任意常數，級數收斂。
(1) 解由於
故，於是
（2）證因， 且，有
而級數收斂，故由比較審斂法知收斂。
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