第一章習題1-1
1．求下列函式的自然定義域：
(1解：(1)解不等式組得函式定義域為;
2．已知函式定義域為，求的定義域．
解：函式要有意義，必須，因此的定義域為；
同理得函式定義域為
；函式要有意義，必須，因此，（1）若，定義域為：；（2）若，定義域為：；（3）若，定義域為：．
第二節例1.2.3 證明．
證 ，由於
即．取，則當時，恒有．
故．習題1-2
4．根據極限的定義證明：
(1)（為常數）； (23)；
(4) ； (5) .
解： (1)，若，則任取正整數，當時, 總有；若，要使，只需，取正整數，當時,總有，綜上可得；
(2),要使, 即,取,當時, 總有, 則；
(3),要使，只要，取，則當時，總有，所以；
(4) 對，要使，取，當時，總有，所以；
(5) 對，有, , 要使,只要,即,取，則當時,有,故有．
習題1-3
1.(16) =
==．4．已知，其中為常數，求和的值．
解：因為
，所以，則．
第四節例1.4.6 求．
解令，則，當時，有．於是由復合函式的極限運算法則得
習題1-4
1．計算下列極限：
(1)； (2)； (3)； (4)．
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)2．計算下列極限
(12)；
解：(1)；
(2)；
習題1-5
5．利用等價無窮小的性質，求下列極限：
(2)（是不為零常數）；
(3)； (4)；
(5)；
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)解：；
另解：也可改為練習：
(9) ,其中,均為常數.
8．當時，若與是等價無窮小，試求．
解：依題意有， 因為當時，
，，所以
故．習題1－6
2．討論下列函式的間斷點的型別．如果是可去間斷點，則補充或改變函式的定義使其連續．
(12)
(34)；
(56)
解：(1)為跳躍間斷點；
(2) 因為，所以為可去間斷點，補充定義，則函式在內連續；
(3)為跳躍間斷點；
(4) 因為，所以為可去間斷點，補充定義，則函式在內連續；
(5)為可去向斷點，若令,則在連續；為第二類間斷點．
(6) 因為，所以為可去間斷點，補充定義，則函式在內連續；
3．當取何值時，函式在處連續．
解：因為所以，依題意有=0.
習題1-7
2．求下列極限：
(12)； (3)；
(45)； (6) ；
(7) ．
解：(1) 因為是在點處連續，所以；
(2)；
(3)；(4)；
(5)；
(6)(7)3．證明：已知，求常數的值．
解：因為
，則，所以．
第一章複習題a
一、選擇題
5． 設適合，則以下結果正確的是（ ）
a．可取任意實數； b．可取任意實數；
c．；d．都可取任意實數
3．當時，下列變數為無窮小的是（ ）
a.； bc.； d.
第二章第一節
例2.13. 討論函式在處的連續性與可導性.
解：因為f(0)=0, ,所f(x)在x=0處連續.但是
(不存在).
故函式f(x)在x=0處不可導.
習題2.1
10. 討論下列函式在處的連續性與可導性：
（1）；
（2）；
（3）解：（1），所以函式在處連續。
而，所以函式在點處不可導.
（2），而，所以函式在處連續而，所以函式在點處可導.
（3），而，所以函式在處連續而，所以函式在點處不可導.
11. 設在處可導，求，的值。
解：要使函式在處連續且可導，則應滿足
存在，，
又要使存在，則，
。習題2.2
4. 求下列函式的導數（其中是常數）:
（12）
（34）
（5解：（1）
(2)(3)(4)(5)(5) 解：
7. 求下列函式的導數：
（12）
解：（1）
（2）8. 求下列函式的導數
（12）
（34）
（56）
（7）解：（1）
（2）（3），於是，
（4）（5）（6）（7）第二章第四節
例2.4.6 求擺線在相應於點處的切線方程(其中a>0)
圖 2-5
解(2nπ n為整數)
所求切線的斜率為
切點的座標為
切線方程為
即例2.4.7．計算橢圓的引數方程所確定的函式yf(x)的二階導數
解 (t0，π 2π)
t0，π 2π).
3、求由下列方程所確定的隱函式的二階導數：
（12）；
（3解：（1）方程兩邊對x求導：，即，
於是，即，
（2）方程兩邊對x求導：，即，
於是（3）應用隱函式的求導方法，得
解得：，對此式再對求導
5、求由下引數方程所確定的隱函式的二階導數：
（1）求
（2）求
解：（1），
由方程得，t=0時，y=,
，==0
5、求由下引數方程所確定的隱函式的二階導數：
（2）求
（2）解：，
8．溶液從深15cm，頂直徑12cm的正圓錐形漏斗漏入一直徑為10cm的圓柱形容器中，開始時漏斗中盛滿了溶液。已知當溶液在漏斗中深為12cm時，其液面下降的速率為。問這時圓柱形容器中液面上公升的速率是多少？
解：設在時刻t漏斗中溶液的深度為，液面半徑為r，圓柱形容器中溶液的深度為。由，得，
依題意，
即，從而，又當時，，∴，得。
答：圓柱形容器中液面上公升的速率為。
1．單項選擇題：
（1）設可微，則=（ ）；
a、； b、；
c、； d、.
（2）函式在點處可微，則當很小時，≈（ ）；
a、； b、； c、； d、.
（3）設為自變數，當，時， =（ ）；
a、0.3b、0c、0.01d、0.03.
（4）=（ ）；
ab、；
cd、.
（5）將半徑為的球體加熱，如果球半徑增加，則球體積的增量≈（ ）.
ab、；
cd、.
解：（1）（c ）；
（2）（d ）；
（3）（a）；
（4）（d）；
（5）（b）；
4．求下列函式的微分：
（1（2）；
（34）；
（56）；
（78) ；
（910）.
解：（1）；
（2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（78) ；
（9）； （10）
7．利用微分求近似值：
（1）； （2）；（3
解：（1）；
（2）；
（3）8．某工廠每週生產件產品所獲得利潤為萬元，已知，當每週產量由100件增至102件時，試用微分求其利潤增加的近似值.
解： 由題知，，求
因為（萬元）.
即每週產量由100件增至102件可增加利潤約16萬元
一.選擇題
1.設，則在點可導的充要條件為( )
(a)存在b)存在.
(c)存在d)存在
1. 解法一： 當時，關於( a )：
由此可知
若在點可導成立，反之若(a)成立成立，不能成立，如滿足(a)但不存在．
關於(d)：若在點可導
成立，反之(d)成立，不能在連續，因而不能在處可導，如滿足(d)，但不存在．
再看( c )：
(當它們都時)
注意：易求得因此，若成立．反之若( c )成立不能(即)，因為只要有界，仍有( c )成立．如滿足(c)但不存在．
因此只能選( b )．
解法二：直接考慮( b )
因此應選取( b )．
二. 填空題
1.設函式處處可導，且有，並對任何實數和，恒有，則
2.設在處可導，則
3.已知函式由方程確定，由
4.曲線上與直線垂直的切線方程為
5.設函式由方程所確定,則
6.設,則
7.若，則
參***：
1解：令h=0得f(0)=0,
2解： ===
3解： 方程兩邊對兩次求導得
．以代入原方程得，以代入前方程得，再以代入後方程得．
4解：依題意得，x=－1, y=0,於是所求法線方程為：y=x+1.
5解：對x求導得：則
於是6解：，對x求導得：
， 從而
7解：，則，，
第二章複習題b
一、選擇題
13. 函式在處（ ）。
不連續，不可導不連續，可導連續，不可導連續，可導
14. 設在點的某個鄰域內有定義，則在點處可導的乙個充要條件是（ ）存在。
(a)(b)
高數複習題
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