《高等數學》複習題
2023年5月
第一套1 .，求和。
2. 設，求和。
3. 設，求二階偏導數和。
4. 求函式在點處的全微分。
5. 設，其中具有二階連續偏導數，求和。
6. 求函式的極值。
7. 求曲面在點處的切平面和法線方程。
8. 求函式在點處的梯度和在該點沿方向的方向導數。
9. 計算，其中是由直線、和所圍成的區域。
10. 計算，其中是圓域（）在第二象限的部分。
11 計算二重積分。
12 證明：。
13 計算三重積分，其中。
14. 計算曲線積分，其中是拋物線上從點到的一段弧。
15. 計算曲線積分，其中為拋物線。
16. 計算曲面積分，其中為球面
的外側。
17. 判定級數的斂散性。
18. 判定級數的斂散性（若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂？）
19 將函式展開成的冪級數。
20 . 求冪級數的和函式，並求級數的和。
21. 求微分方程的通解。
22. 求微分方程的通解。
23. 求微分方程的通解。
24. 設有微分方程。（1）求對應齊次方程的通解；（2）求原方程的特解；（3）求原方程的通解。
第一套複習題參***
1.,。 2.，。 3.，。4.。
5.，。 6. 極大值。 7.，。 8.，。9.。
10.。11.。13.。14.。15.。16.。17. 收斂。18. 條件收斂。19.。20.（），。
21.。22.。23.。
24.（1）；（2）；（3）。
第二套1. 設，求和。
2. 設，其中是可導函式，求。
3. 設，求。
4. 設，其中具有二階連續偏導數，求，和。
5. 設，求和。
6. 設。(1) 求梯度；(2) 求函式在點處沿方向的方向導數。
7. 設有一半徑為的球面，求內接於該球面的長方體的長、寬、高，使之有最大體積。
8. 計算二次積分。
9. 交換二次積分的積分次序。
10. 計算二重積分。
11. 將三重積分化為三次積分，其中為三個座標面和平面所圍成的閉區域。
12. 計算三重積分，其中。
13. 計算曲線積分，其中為半圓從點到點的一段弧。
14. 驗證曲線積分與路徑無關，並計算積分值。
15. 計算曲線積分，其中為。
16. 計算曲面積分，其中是區域
的整個邊界曲面的外側。
17. 判定級數的斂散性。
18. 判定級數的斂散性（若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂？）
19. 求冪級數的收斂半徑和收斂域。
20. 將函式展開成的冪級數
21. 微分方程的滿足初始條件的特解。
22. 微分方程的通解。
23. 若二階可導函式滿足方程，且，求。
第二套複習題參***
1.，。2.。4.，，。 5.，。
6. (1)；(2)。7.
長、寬、高都是時，可得最大體積。8.（提示：
交換積分次序）。 9.。10.。
11.。 12.。13.
(提示：加邊用格林公式)。14.。
15.。16.。17.
收斂。18. 絕對收斂。
19，。20.（）。
21.。22.。23.
（提示：建立微分方程：）。
第三套1. 求的偏導數，和。
2. 設，試證：。
3. 設，且為可微函式，求，和。
4. 設，其中為可微函式，求全微分並證明等式：。
5. 設是由方程所確定的隱函式，求和。
6. 求橢圓拋物面在點處的切平面方程。
7. 求拋物線到直線之間的最短距離。
8. 計算二重積分，其中是由曲線、直線、和所圍成的區域。
9. 交換二次積分的積分次序。
10. 計算二重積分，其中。
11. 求由以下四張平面所圍的四面體的體積：和。
12. 計算三重積分，其中是由圓錐面及平面所圍成的閉區域。
13. 計算曲線積分，其中是曲線從到的一段弧。
14. 計算曲線積分，其中為在拋物線上由點到點的一段弧。
15. 計算曲線積分，其中為由直線及拋物線所圍成的區域的整個邊界。
16. 判定級數的斂散性。
17. 討論級數何時絕對收斂﹑條件收斂和發散。
18. 證明：若絕對收斂，條件收斂，則條件收斂。
19. 求冪級數的收斂半徑和收斂域。
20. 求冪級數的和函式。
21. 求微分方程滿足條件的特解。
22. 求微分方程的特解。
23. 求微分方程的通解。
24. 設曲線積分在右半平面（）內與路徑無關，其中為可導函式，且。
（1）求函式；
（2）計算。
第三套複習題參***
3.，，。
4. 5.，。
6.。7.。
8.。9.。10.（提示：利用對稱性）。
11.。
12.。
13.。
14.。
15.。
16. 收斂。
17. 級數當時發散；當時條件收斂；當時絕對收斂。
19.，。
20.（）。
21.。
22.。
23.。24.（1）；（2）。
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