第三節不等式組與簡單的線性規劃第一部分
五年高考薈萃
2023年高考題
一、選擇題
1. (2009山東卷理)設x，y滿足約束條件 ，
若目標函式z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值為12，
則的最小值為
a. bcd. 4
答案 a
解析不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分,當直線ax+by= z（a>0，b>0）
過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,
目標函式z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選a.
【命題立意】:本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函式的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區域,並且能夠求得目標函式的最值,對於形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進而用基本不等式解答.
2.（2009安徽卷理）若不等式組所表示的平面區域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是
a. b. c. d.
答案 b
解析不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分△abc
由得a（1，1），又b（0，4），c（0，）
∴△abc=，設與的
交點為d，則由知，∴
∴選a。
3.（2009安徽卷文）不等式組所表示的平面區域的面積等於
abcd.
解析由可得，故陰 =，選c。
答案 c
4.（2009四川卷文）某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用a原料3噸，b原料2噸；生產每噸乙產品要用a原料1噸，b原料3噸，銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元。該企業在乙個生產週期內消耗a原料不超過13噸，b原料不超過18噸.
那麼該企業可獲得最大利潤是
a. 12萬元b. 20萬元c. 25萬元d. 27萬元
答案 d
解析設生產甲產品噸，生產乙產品噸，則有關係：
則有：目標函式
作出可行域後求出可行域邊界上各端點的座標，經驗證知：
當＝3，＝5時可獲得最大利潤為27萬元，故選d
5.（2009寧夏海南卷理）設x,y滿足
a.有最小值2，最大值3 b.有最小值2，無最大值
c.有最大值3，無最小值 d.既無最小值，也無最大值
答案 b
解析畫出可行域可知，當過點（2，0）時，，但無最大值。選b.
6.（2009寧夏海南卷文）設滿足則
a.有最小值2，最大值3b.有最小值2，無最大值
c.有最大值3，無最小值d.既無最小值，也無最大值
答案 b
解析畫出不等式表示的平面區域，如右圖，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，畫出y＝－x的圖象，當它的平行線經過a（2,0）時，z取得最小值，最小值為：z＝2，無最大值，故選.b
7.(2009湖南卷理)已知d是由不等式組，所確定的平面區域，則圓在區域d內
的弧長為b]
abcd.
答案 b
解析解析如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對弧長即為所求，易知圖中兩直線的斜率分別是，所以圓心角即為兩直線的所成夾角，所以，所以，而圓的半徑是2，所以弧長是，故選b現。
8.（2009天津卷理）設變數x，y滿足約束條件：.則目標函式z=2x+3y的最小值為
a.6 b.7 c.8 d.23
答案 b
【考點定位】本小考查簡單的線性規劃，基礎題。
解析畫出不等式表示的可行域，如右圖，
讓目標函式表示直線在可行域上平移，知在點b自目標函式取到最小值，解方程組得，所以，故選擇b。
9.（2009四川卷理）某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用a原料3噸、b 原料2噸；生產每噸乙產品要用a原料1噸、b原料3噸。銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元，該企業在乙個生產週期內消耗a原料不超過13噸，b原料不超過18噸，那麼該企業可獲得最大利潤是
a. 12萬元 b. 20萬元 c. 25萬元 d. 27萬元
答案 d
【考點定位】本小題考查簡單的線性規劃，基礎題。（同文10）
解析設甲、乙種兩種產品各需生產、噸，可使利潤最大，故本題即
已知約束條件，求目標函式的最大
值，可求出最優解為，故，故選
擇d。10.（2009福建卷文）在平面直角座標系中，若不等式組（為常數）所表示的平面區域內的面積等於2，則的值為
a. -5b. 1c. 2d. 3
答案 d
解析如圖可得黃色即為滿足的直線恆過（0，1），故看作直線繞點（0，1）旋轉，當a=-5時，則可行域不是乙個封閉區域，當a=1時，面積是1；a=2時，面積是；當a=3時，面積恰好為2，故選d.
二、填空題
11.（2009浙江理）若實數滿足不等式組則的最小值是
答案 4
解析通過畫出其線性規劃，可知直線過點時，
12.（2009浙江卷文）若實數滿足不等式組則的最小
是【命題意圖】此題主要是考查了線性規劃中的最值問題，此題的考查既體現了正確畫線性區域的要求，也體現了線性目標函式最值求解的要求
解析通過畫出其線性規劃，可知直線過點時，
13.（2009北京文）若實數滿足則的最大值為
答案 9
解析：本題主要考查線性規劃方面的基礎知. 屬於基礎知識、基本運算的考查.
如圖，當時，
為最大值.
故應填9.
14.（2009北京卷理）若實數滿足則的最小值為
答案解析本題主要考查線性規劃方面
的基礎知. 屬於基礎知識、基本運算
的考查.
如圖，當時，
為最小值.
故應填.
15.(2009山東卷理)不等式的解集為
答案解析原不等式等價於不等式組①或②
或③不等式組①無解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為.
16.(2009山東卷文)某公司租賃甲、乙兩種裝置生產a,b兩類產品,甲種裝置每天能生產a類產品5件和b類產品10件,乙種裝置每天能生產a類產品6件和b類產品20件.已知裝置甲每天的租賃費為200元,裝置乙每天的租賃費為300元,現該公司至少要生產a類產品50件,b類產品140件,所需租賃費最少為元.
答案 2300
解析設甲種裝置需要生產天, 乙種裝置需要生產天, 該公司所需租賃費為元,則，甲、乙兩種裝置生產a,b兩類產品的情況為下表所示:
則滿足的關係為即:,
作出不等式表示的平面區域,當對應的直線過兩直線的交點(4,5)時，目標函式取得最低為2300元.
【命題立意】:本題是線性規劃的實際應用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關係,最好是列成**,找出線性約束條件,寫出所研究的目標函式,通過數形結合解答問題..
17.（2009上海卷文） 已知實數x、y滿足則目標函式z=x-2y的最小值是
答案 －9
解析畫出滿足不等式組的可行域如右圖，目標函式化為：－z，畫直線及其平行線，當此直線經過點a時，－z的值最大，z的值最小，a點座標為（3,6），所以，z的最小值為：3－2×6＝－9。
2005--2023年高考題
一、 選擇題
1、（2008山東）設二元一次不等式組所表示的平面區域為m，使函式y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區域m的a的取值範圍是( )
a .[1,3b.[2c.[2,9
d.[,9]
答案 c
解析本題考查線性規劃與指數函式。如圖陰影部分為平面區域m， 顯然，只需
研究過、兩種情形。且即
2、（2008廣東）若變數滿足則的最大值是（ ）
a．90b．80c．70d．40
答案 c
解析畫出可行域（如圖），在點取最大值
3．（2007北京）若不等式組表示的平面區域是乙個三角形，則的取值範圍是
或答案 d
4.（2007天津）設變數滿足約束條件則目標函式的最大值
為ａ．4111214
答案 b
5、（2008山東）10、（2006山東）已知x和y是正整數，且滿足約束條件則x－2x3y的最小值是
(a)24b)14c)13d)11.5
答案 b
6、（2006廣東）在約束條件下，當時，目標函式的最大值的變化範圍是
ab. cd.
答案 d
7、（2006天津）設變數、滿足約束條件，則目標函式的最小值為
a． b． c． d．
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