不等式問題的題型與方法
（3課時）
一、考試內容
不等式，不等式的基本性質，不等式的證明，不等式的解法，含絕對值不等式
二、考試要求
1．理解不等式的性質及其證明。
2．掌握兩個（不擴充套件到三個）正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單的應用。
3．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
4．掌握簡單不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
三、複習目標
1．在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎上，掌握其它的一些簡單不等式的解法．通過不等式解法的複習，提高學生分析問題、解決問題的能力以及計算能力；
2．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會用分類、換元、數形結合的方法解不等式；
3．通過複習不等式的性質及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)，使學生較靈活的運用常規方法(即通性通法)證明不等式的有關問題；
4．通過證明不等式的過程，培養自覺運用數形結合、函式等基本數學思想方法證明不等式的能力；
5．能較靈活的應用不等式的基本知識、基本方法，解決有關不等式的問題．
6．通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函式、數列、複數、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數學素質及創新意識．
四、雙基透視
1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是不等式變形的理論依據，方程的根、函式的性質和圖象都與不等式的解法密切相關，要善於把它們有機地聯絡起來，互相轉化．在解不等式中，換元法和**法是常用的技巧之一．通過換元，可將較複雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過建構函式、數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關係，對含有引數的不等式，運用**法可以使得分類標準明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質及函式的單調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數形結合是解不等式的常用方法．方程的根、函式的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善於把它們有機地聯絡起來，相互轉化和相互變用．[**:學.科.
網z.x.x.
k]3．在不等式的求解中，換元法和**法是常用的技巧之一，通過換元，可將較複雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過建構函式，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關係，對含有引數的不等式，運用**法，可以使分類標準更加明晰．通過複習，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用．[**:學科網]
4．比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．
5．證明不等式的方法靈活多樣，內容豐富、技巧性較強，這對發展分析綜合能力、正逆思維等，將會起到很好的促進作用．在證明不等式前，要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯絡，選擇適當的證明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經過一系列的運算而匯出待證的不等式，前者是「執果索因」，後者是「由因導果」，為溝通聯絡的途徑，證明時往往聯合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．
6．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯絡，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，並掌握相應的步驟，技巧和語言特點．
7．不等式這部分知識，滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用．因此不等式應用問題體現了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學們將所學數學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據題設、題斷的結構特點、內在聯絡、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解或證明．不等式的應用範圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函式單調性的研究，函式定義域的確定，三角、數列、複數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯絡，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。
8．不等式應用問題體現了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函式式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函式的最值時，要特別注意「正數、定值和相等」三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數學問題，40作答。
五、注意事項
1.解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。
2.解含引數不等式時，要特別注意數形結合思想，函式與方程思想，分類討論思想的錄活運用。
3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用範圍，又要注意在掌握常規證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。
4．根據題目結構特點，執果索因，往往是有效的思維方法。
六、範例分析
b)∈m，且對m中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．
分析：讀懂並能揭示問題中的數學實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解「對m中的其它元素(c，d)，總有c≥a」？m中的元素又有什麼特點？
解：依題可知，本題等價於求函式x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
[**:學|科|網]
(2)當1≤y≤3時，
所以當y=1時，xmin=4．
說明：題設條件中出現集合的形式，因此要認清集合元素的本質屬性，然後結合條件，揭示其數學實質．即求集合m中的元素滿足關係式
例2．解關於的不等式：
分析：本例主要複習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對引數進行討論，而是去絕對值時必須對末知數進行討論，得到兩個不等式組，最後對兩個不等式組的解集求並集，得出原不等式的解集。
解：當。
例3． 己知三個不等式
(1)若同時滿足①、②的值也滿足③，求m的取值範圍；
(2)若滿足的③值至少滿足①和②中的乙個，求m的取值範圍。
分析：本例主要綜合複習整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數形結合思想，解本題的關鍵弄清同時滿足①、②的值的滿足③的充要條件是：③對應的方程的兩根分別在和內。
不等式和與之對應的方程及函式圖象有著密不可分的內在聯絡，在解決問題的過程中，要適時地聯絡它們之間的內在關係。
解：記①的解集為a，②的解集為b，③的解集為c。
解①得a=（-1，3）；解②得b=
（1） 因同時滿足①、②的值也滿足③，abc
設，由的圖象可知：方程的小根小於0，大根大於或等於3時，即可滿足
（2） 因滿足③的值至少滿足①和②中的乙個，因
此小根大於或等於-1，大根小於或等於4，因而
說明：同時滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對應的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-∞，0)和[3，+∞)內，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否則不能對a∩b中的所有x值滿足條件．不等式和與之對應的方程及圖象是有著密不可分的內在聯絡的，在解決問題的過程中，要適時地聯絡它們之間的內在關係．
例4.已知對於自然數a，存在乙個以a為首項係數的整係數二次三項式，它有兩個小於1的正根，求證：a≥5．
分析：回憶二次函式的幾種特殊形式．設f(x)=ax+bx+c(a≠0)．① [**:z_xx_
頂點式．f(x)=a(x-x)+f(x)(a≠0)．這裡(x，f(x))是二次函式的頂點，x=
))、(x，f(x))、(x，f(x))是二次函式圖象上的不同三點，則係數a，b，c可由
證明：設二次三項式為：f(x)=a(x-x)(x-x)，a∈n．
依題意知：0＜x＜1，0＜x＜1，且x≠x．於是有
f(0)＞0，f(1)＞0．
又f(x)=ax-a(x+x)x+axx為整係數二次三項式，
所以f(0)=axx、f(1)=a·(1-x)(1-x)為正整數．故f(0)≥1，f(1)≥1．
從而 f(0)·f(1)≥1
另一方面，
且由x≠x知等號不同時成立，所以
由①、②得，a＞16．又a∈n，所以a≥5．
說明：二次函式是一類被廣泛應用的函式，用它構造的不等式證明問題，往往比較靈活．根據題設條件恰當選擇二次函式的表達形式，是解決這類問題的關鍵．
例5.設等差數列的首項a1＞0且**=sn(m≠n)．問：它的前多少項的和最大？[**:學,科,網z,x,x,k]
分析:要求前n項和的最大值，首先要分析此數列是遞增數列還是遞減數列．
解:設等差數列的公差為d，由**=sn得
ak≥0，且ak+1＜0．
(k∈n)．
說明：諸多數學問題可歸結為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，並分析其解在具體問題的意義，是得到合理結論的關鍵．
例6．若二次函式y=f(x)的圖象經過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的範圍．
分析：要求f(-2)的取值範圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由於y=f(x)是二次函式，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表示式，然後依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．
解：因為y=f(x)的圖象經過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．於是
解法一(利用基本不等式的性質)
不等式組(ⅰ)變形得
(ⅰ)所以f(-2)的取值範圍是[6，10]．
解法二(數形結合)
建立直角座標系aob，作出不等式組(ⅰ)所表示的區域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點a(2，1)，b(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值範圍是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而[**:學.科.網z.x.x.k]
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4
所以 3≤3f(-1)≤6
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