考試內容:
教學歸納法.數學歸納法應用.
數列的極限.
函式的極限.根限的四則運算.函式的連續性.
考試要求:
(1)理解數學歸納法的原理,能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.
(2)了解數列極限和函式極限的概念.
(3)掌握極限的四則運算法則;會求某些數列與函式的極限.
(4)了解函式連續的意義,了解閉區間上連續函式有最大值和最小值的性質.
§13. 極限知識要點
1. ⑴第一數學歸納法:①證明當取第乙個時結論正確;②假設當()時,結論正確,證明當時,結論成立.
⑵第二數學歸納法:設是乙個與正整數有關的命題,如果
①當()時,成立;
②假設當()時,成立,推得時,也成立.
那麼,根據①②對一切自然數時,都成立.
2. ⑴數列極限的表示方法:
①②當時,.
⑵幾個常用極限:
①(為常數)
②③對於任意實常數,
當時,當時,若a = 1,則;若,則不存在
當時,不存在
⑶數列極限的四則運算法則:
如果,那麼①②
③特別地,如果c是常數,那麼
.⑷數列極限的應用:
求無窮數列的各項和,特別地,當時,無窮等比數列的各項和為.
(化迴圈小數為分數方法同上式)
注:並不是每乙個無窮數列都有極限.
3. 函式極限;
⑴當自變數無限趨近於常數(但不等於)時,如果函式無限趨進於乙個常數,就是說當趨近於時,函式的極限為.記作或當時,.
注:當時,是否存在極限與在處是否定義無關,因為並不要求.(當然,在是否有定義也與在處是否存在極限無關.函式在有定義是存在的既不充分又不必要條件.)
如在處無定義,但存在,因為在處左右極限均等於零.
⑵函式極限的四則運算法則:
如果,那麼①②
③特別地,如果c是常數,那麼.()
注:①各個函式的極限都應存在.
②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況,但不能推廣到無限個情況.
⑶幾個常用極限:
①②(0<<1);(>1)
③④,()
4. 函式的連續性:
⑴如果函式f(x),g(x)在某一點連續,那麼函式在點處都連續.
⑵函式f(x)在點處連續必須滿足三個條件:
①函式f(x)在點處有定義;②存在;③函式f(x)在點處的極限值等於該點的函式值,即.
⑶函式f(x)在點處不連續(間斷)的判定:
如果函式f(x)在點處有下列三種情況之一時,則稱為函式f(x)的不連續點.
①f(x)在點處沒有定義,即不存在;②不存在;③存在,但.
5. 零點定理,介值定理,夾逼定理:
⑴零點定理:設函式在閉區間上連續,且.那麼在開區間內至少有函式的乙個零點,即至少有一點(<<)使.
⑵介值定理:設函式在閉區間上連續,且在這區間的端點取不同函式值,,那麼對於之間任意的乙個數,在開區間內至少有一點,使得(<<).
⑶夾逼定理:設當時,有≤≤,且,則必有
注::表示以為的極限,則就無限趨近於零.(為最小整數)
6. 幾個常用極限:①②
③為常數)
④⑤為常數)
高考數學知識點總結
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