第六章不等式推理與證明
(時間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．不等式(x＋1)≥0的解集是
a． b．
c． d．
解析：∵≥0，∴x≥1.
同時x＋1≥0，即x≥－1.∴x≥1.
答案：b
2．下列命題中的真命題是
a．若a＞b，c＞d，則ac＞bd b．若|a|＞b，則a2＞b2
c．若a＞b，則a2＞b2d．若a＞|b|，則a2＞b2
解析：由a＞|b|，可得a＞|b|≥0a2＞b2.
答案：d
3．已知函式f(x)＝，若f(x)≥1，則x的取值範圍是
a．(－∞，－1b．[1，＋∞)
c．(－∞，0]∪[1d．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：將原不等式轉化為：或，從而得x≥1或x≤－1.
答案：d
4．若集合a＝，b＝，則a∩b是
a． b．
c．解析：∵|2x－1|＜3，∴－3＜2x－1＜3.∴－1＜x＜2.
又∵＜0，∴(2x＋1)(x－3)＞0，
∴x＞3或x＜－.∴a∩b＝．
答案：d
5．給出下面模擬推理命題(其中q為有理數集，r為實數集，c為複數集)：
①「若a，b∈r，則a－b＝0a＝b」模擬推出「若a，b∈c，則a－b＝0a＝b」；
②「若a，b，c，d∈r，則複數a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d」模擬推出「若a，b，c，d∈q，則a＋b＝c＋da＝c，b＝d」；
③「若a，b∈r，則a－b＞0a＞b」模擬推出「若a，b∈c，則a－b＞0a＞b」．
其中模擬得到的結論正確的個數是
a．0b．1c．2d．3
解析：①②是正確的，③是錯誤的，因為複數不能比較大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，雖然滿足a－b＝1＞0，但複數a與b不能比較大小．
答案：c
6．已知實數a，b，則「ab≥2」是「a2＋b2≥4」的
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
解析：當ab≥2時，a2＋b2≥2ab≥4，故充分性成立，而a2＋b2≥4時，當a＝－1，b＝3時成立，但ab＝－3＜2，顯然ab≥2不成立，故必要性不成立．
答案：a
7．三段論：「①只有船準時起航，才能準時到達目的港；②某艘船是準時到達目的港的；③所以這艘船是準時起航的」中小前提是
a．① bcd．③
解析：大前提是①，小前提是②，結論是③.
答案：b
8．不等式組，所表示的平面區域的面積等於
ab. cd.
解析：不等式組表示的平面區域如圖所示，
由得交點a的座標為(1,1)．
又b、c兩點的座標為(0,4)，(0，)．
故s△abc＝(4－)×1＝.
答案：c
9．已知函式f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象過點(－1,3)和(1,1)，若0＜c＜1，則實數a的取值範圍是
a．[2,3b．[1,3c．(1,2d．(1,3)
解析：由題意：得b＝－1，∴a＋c＝2.
又0＜c＜1，∴0＜2－a＜1，∴1＜a＜2.
答案：c
10．(2010·淄博模擬)若f(a)＝(3m－1)a＋b－2m，當m∈[0,1]時f(a)≤1恆成立，則a＋b的最大值為
abcd.
解析：設g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a，由於當m∈[0,1]時
g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a≤1恆成立，於是
滿足此不等式組的點(a，b)構成圖中的陰影部分，
其中a()，設a+b=t，顯然直線a+b=t過點
a時，t取得最大值.
答案：d
9．已知函式f(x)滿足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，
則＋＋＋
等於a．36 b．24 c．18 d．12
解析：由f(p＋q)＝f(p)f(q)，
令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)．
原式＝＋＋＋
＝2f(1)＋＋＋
＝8f(1)＝24.
答案：b
12．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10 km處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那麼，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站
a．5 km處 b．4 km處c．3 km處d．2 km處
解析：由題意可設y1＝，y2＝k2x，
∴k1＝xy1，k2＝，
把x＝10，y1＝2與x＝10，y2＝8分別代入上式得k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＝，y2＝0.8x(x為倉庫與車站距離)，
費用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8，
當且僅當0.8x＝，即x＝5時等號成立．
答案：a
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．關於x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab＞0的解集是，則實數a、b的值分別為________．
解析：由不等式的解集為可得，－1,4是方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的兩根，
∴，解得a＝－4，b＝1.
答案：－4,1
14．關於x的不等式ax2＋4x－1≥－2x2－a恆成立，那麼實數a的取值範圍是________．
解析：不等式ax2＋4x－1≥－2x2－a
可化為(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0，
當a＋2＝0，即a＝－2時，不恆成立，不合題意．
當a＋2≠0時，要使不等式恆成立，
需解得a≥2.
所以a的取值範圍為[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
15．某公司租賃甲、乙兩種裝置生產a，b兩類產品，甲種裝置每天能生產a類產品5件和b類產品10件，乙種裝置每天能生產a類產品6件和b類產品20件．已知裝置甲每天的租賃費為200元，裝置乙每天的租賃費為300元，現該公司至少要生產a類產品50件，b類產品140件，所需租賃費最少為________元．
解析：設需租賃甲種裝置x臺，乙種裝置y臺，
則目標函式為z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知當x＝4，y＝5時，z＝200x＋300y有最小值2300元．
答案：2300
16．已知點p(a，b)與點q(1,0)在直線2x－3y＋1＝0的兩側，則下列說法正確的是________．
①2a－3b＋1＞0；
②a≠0時，有最小值，無最大值；
③m∈r＋，使＞m恆成立；
④當a＞0且a≠1，b＞0時，則的取值範圍為
解析：由已知(2a－3b＋1)(2－0＋1)＜0，
即2a－3b＋1＜0，∴①錯；
當a＞0時，由3b ＞2a＋1，
可得＞＋，
∴不存在最小值，∴②錯；
表示為(a，b)與(0,0)兩點間的距離，由線性規劃知識可得：
＞＝恆成立，
∴③正確；
表示為(a，b)和(1,0)兩點的斜率．
由線性規劃知識可知④正確．
答案：③④
三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解關於a的不等式f(1)＞0；
(2)當不等式f(x)＞0的解集為(－1,3)時，求實數a，b的值．
解：(1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a2＋6a＋b－3，
∵f(1)＞0，∴a2－6a＋3－b＜0.
δ＝24＋4b，當δ≤0
即b≤－6時，f(1)＞0的解集為；
當b＞－6時，3－＜a＜3＋，
∴f(1)＞0的解集為．
(2)∵不等式－3x2＋a(6－a)x＋b＞0的解集為(－1,3)，
∴解之，得
18．(本小題滿分12分)若a1＞0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)
(1)求證：an＋1≠an；
(2)令a1＝，寫出a2、a3、a4、a5的值，觀察並歸納出這個數列的通項公式an.
解：(1)證明：(採用反證法)．若an＋1＝an，
即＝an，解得an＝0,1.
從而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0,1，與題設a1＞0，a1≠1相矛盾，
故an＋1≠an成立．
(2)a1＝、a2＝、a3＝、a4＝、a5＝，an＝，
n∈n*.
19．(本小題滿分12分)(2010·吉林模擬)滬杭高速公路全長166千公尺．假設某汽車從上海莘莊鎮進入該高速公路後以不低於60千公尺/時且不高於120千公尺/時的速度勻速行駛到杭州．已知該汽車每小時的運輸成本y(以元為單元)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千公尺/時)的平方成正比，比例係數為0.02；固定部分為200元．
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