不等式是中學數學的內容，是求解數學問題的工具，它貫穿於整個高中數學的始終，融合於集合問題、方程（組）的解的討論、函式性質的確定、三角、數列、立體幾何中的最值問題，解析幾何中直線與圓錐曲線位置關係的討論等內容，這些知識塊無一不與不等式有著緊密的聯絡，所涉及內容的深度與廣度是其它章節無法相比的。因此，不等式將是永不衰退的歷屆高考熱點，所以必須加強對不等式的複習與研究。按《考試說明》的規定，不等式這一章包括五個知識點，五條考試要求，概括起來有四個方面：
不等式的性質、不等式的證明、不等式的解法以及不等式的應用.
我們先來分析一下不等式高考的命題趨勢：
（1）題型穩定：近幾年來高考平面向量試題一直穩定在1-2個小題和其他與高中各知識塊相聯絡的大題上，分值約為30分左右， 佔總分值的20%左右。
（2）由於近年高考命題強調能力立意, 考查基礎知識不再是考查對知識的複製，而是考查對基礎知識的深刻理解，考查各個基礎知識點的聯絡和交匯.從近三年高考數學試題看,不等式這一章內容的考查不再是單一型了,它往往與其它章節知識結合在一起構成了複合型試題,不等式試題主要體現了等價轉化、函式與方程、分類討論、數形結合等基本數學思想，其主要題型大致分為:解不等式、證明不等式和不等式的應用.
解不等式：不等式在生產實踐和相關學科的學習中應用廣泛，又是學習高等數學的重要工具，所以不等式是高考數學命題的重點，解不等式的應用非常廣泛，如求函式的定義域、值域，求引數的取值範圍等，高考試題中對於解不等式要求較高，往往與函式概念，特別是二次函式、指數函式、對數函式等有關概念和性質密切聯絡，應重視；從歷年高考題目看，關於解不等式的內容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式.
證明不等式：複習不等式的性質及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)，掌握較靈活的運用常規方法(即通性通法)證明不等式的有關問題．
不等式的應用：應用題中有一類是以不等式為數學模型的，當不等式模型建立後即可轉化為解不等式來解決問題，這是高考中常見題型，希望同學們多加關注。
（4）由於不等式這部分知識自身的特點，如不等式研究物件的複雜性，手法的多樣性，故這部分入手容易深入難，建議大家在這兩部分的複習上把握「度」，重點突出，使學生知道哪些是學生必須掌握的，如重要不等式成立的條件；哪些是需要學生根據問題靈活掌握的，如不等式的多種證明方法的運用。注意複習節奏。
在近年高考中，對不等式內容的考查的主要知識點和題型有：
1.關於不等式的性質
(1) 梳理時突出功能性,應用性.
分成三類:理論依據(兩條);對乙個不等式進行變換的依據(四條);對兩個不等式進行變換的依據(四條)
對某些性質的形式可以為使用做出調整,如當時,;
當時, .
(2) 性質使用時注意方法的選擇與綜合
如比較法與綜合法的選擇,數與形的結合,特殊與一般的結合及函式性質的整合與應用等.
2.關於不等式的解法
(1)在進一步鞏固各類基本不等式求解策略的同時,注重對策略本質的理解,對各種方法的選擇與比較.
(2)突出對分類討論思想的認識與使用,提高求簡意識
3.關於不等式的證明
不等式證明常用的方法有 比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法
(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述 如果作差以後的式子可以整理為關於某乙個變數的二次式，則考慮用判別式法證
(2)綜合法是由因導果，而分析法是執果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關係，可以增加解題思路，開擴視野
不等式證明還有一些常用的方法 換元法、放縮法、反證法、函式單調性法、判別式法、數形結合法等 換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性 放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查 有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有「至少」「惟一」或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法
證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯絡，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，並掌握相應的步驟、技巧和語言特點
4.關於不等式的應用
(1) 利用平均值定理求某些函式或物件的最大或最小值問題.
①強化變換的目的性
②突出步驟的合理性的認識
(2) 突出函式,方程與不等式之間的關係,並利用三者的聯絡解決某些變數取值範圍的問題.
1 變數與常量的處理問題即恆成立問題
②突出函式思想的理解與應用,以不等式為工具,充分展示對函式的理解,對函式相關知識的綜合應用.
一、選擇題（每小題 5 分）
1.（2009安徽卷理）下列選項中，p是q的必要不充分條件的是
（a）p:＞b+d , q:＞b且c＞d
（b）p:a＞1,b>1 q:的影象不過第二象限
（c）p: x=1q:
（d）p:a＞1q:在上為增函式
解析：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可舉反例。選a
2.設x，y滿足約束條件， 若目標函式z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為
a. bcd. 4
解析：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分,當直線ax+by= z（a>0，b>0）
過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,
目標函式z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選a.
答案:a
【命題立意】:本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函式的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區域,並且能夠求得目標函式的最值,對於形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進而用基本不等式解答.
3已知函式，則不等式的解集是
(ab)
(cd)
解析：依題意得
所以，選c．
3. 「」是「且」的
a. 必要不充分條件 b. 充分不必要條件
c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件
解析：易得時必有.若時，則可能有，選a。
【答案】a
4.已知，，，為實數，且＞.則「＞」是「－＞－」的
a. 充分而不必要條件b. 必要而不充分條件
c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件
【答案】b
解析：顯然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，則同向不等式相加得＞即由「－＞－」 「＞」
5．（2008山東文）不等式的解集是（ d ）
a． b． c． d．
解析：本小題主要考查分式不等式的解法。易知排除b;由符合可排除c;
由排除a, 故選d。也可用分式不等式的解法,將2移到左邊直接求解。
6.（2009四川卷文）某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用a原料3噸，b原料2噸；生產每噸乙產品要用a原料1噸，b原料3噸，銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元。該企業在乙個生產週期內消耗a原料不超過13噸，b原料不超過18噸.
那麼該企業可獲得最大利潤是
a. 12萬元b. 20萬元c. 25萬元d. 27萬元
【答案】d
解析：設生產甲產品噸，生產乙產品噸，則有關係：
則有：目標函式
作出可行域後求出可行域邊界上各端點的座標，經驗證知：
當＝3，＝5時可獲得最大利潤為27萬元，故選d
7.（2009湖南卷文）若，則的最小值為
解析：，當且僅當時取等號.
8．（2008陝西理）「」是「對任意的正數，」的（ ）
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
解析： ，另一方面對任意正數，
只要，所以選a
9.（2009寧夏海南卷理）設x,y滿足
（a）有最小值2，最大值3 （b）有最小值2，無最大值
（c）有最大值3，無最小值 （d）既無最小值，也無最大值
解析：畫出可行域可知，當過點（2，0）時，，但無最大值。選b.
10.（2009天津卷理）設若的最小值為
a 8 b 4 c 1 d
解析：因為，所以，
，當且僅當即時「=」成立，故選擇c
11.（2008浙江理）已知，b都是實數，那麼「」是「>b」的( d )
（a）充分而不必要條件b）必要而不充分條件
（c）充分必要條件d）既不充分也不必要條件
也不能推出「」。故「」是「>b」的既不充分也不必要條件。
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