【例1】 設集合由滿足下列兩個條件的數列構成：
①；②存在實數，使．（為正整數）
⑴在只有項的有限數列，中，其中；
；試判斷數列是否為集合的元素；
⑵設是各項為正的等比數列，是其前項和，，，
證明數列；並寫出的取值範圍；
⑶設數列且對滿足條件的的最小值，都有．
求證：數列單調遞增．
【例2】 已知數列滿足：，，．
⑴求的值；
⑵設，試求數列的通項公式；
⑶對於任意的正整數，試討論與的大小關係．
【例3】 已知數列，其中，數列的前項和
數列滿足．
⑴求數列的通項公式；
⑵是否存在自然數，使得對於任意，，有恆成立？若存在，求出的最小值；
⑶若數列滿足，求數列的前項和．
【例4】 已知數列滿足，．
⑴求證：；
⑵求證：；
⑶求數列的通項公式．
【例5】 對於各項均為整數的數列，如果（=1，2，3，…）為完全平方數，
則稱數列具有「性質」．
不論數列是否具有「性質」，如果存在與不是同一數列的，且同時滿足下面兩個條件：①是的乙個排列；②數列具有「性質」，則稱數列具有「變換性質」．
⑴設數列的前項和，證明數列具有「性質」；
⑵試判斷數列1，2，3，4，5和數列1，2，3，…，11是否具有「變換性質」，具有此性質的數列請寫出相應的數列，不具此性質的說明理由；
⑶對於有限項數列：1，2，3，…，，某人已經驗證當時，數列具有「變換性質」，試證明：當」時，數列也具有「變換性質」．
【例6】 數列的前項和為，若，點在
直線上．
⑴求證：數列是等差數列；
⑵若數列滿足，求數列的前項和；
⑶設，求證：．
【例7】 已知數列滿足，點在直線上．
⑴求數列的通項公式；
⑵若數列滿足，求的值；
⑶對於⑵中的數列，求證： ．
【例8】 記等差數列的前n項和為，已知．
⑴求數列的通項公式；
⑵令，求數列的前n項和．
【例9】 已知等比數列的公比，是和的乙個等比中項，
和的等差中項為，若數列滿足（）．
⑴求數列的通項公式；
⑵求數列的前項和．
【例10】 已知數列的前項和為，，，等差數列中，且，又、、成等比數列．
⑴ 求數列、的通項公式；
⑵ 求數列的前項和．
【例11】 若數列滿足，為數列的前項和．
⑴當時，求的值；
⑵是否存在實數，使得數列為等比數列？若存在，求出滿足的條件；若不存在，說明理由．
【例12】 設是正數組成的數列，其前項和為，且對於所有的正整數，有．
⑴求，的值；
⑵求數列的通項公式；
⑶令，，（），求數列的前項和．
【例13】 設是正數組成的數列，其前項和為，且對於所有的正整數，有．
⑴求，的值；
⑵求數列的通項公式；
⑶令，，（），求的前項和．
【例14】 已知數列的前項和為，，設．
⑴證明數列是等比數列；
⑵數列滿足，設，若對一切，不等式恆成立，求實數的取值範圍．
【例15】 已知數列的前項和為，，，等差數列中，且，又、、成等比數列．
⑴ 求數列、的通項公式；
⑵ 求數列的前項和．
【例16】 已知數列的前項和為，且滿足，．
⑴求證：{}是等差數列；
⑵求數列的通項公式；
⑶若，求證：．
【例17】 在數列和中，，，，其中且，．
⑴ 若，，求數列的前項和；
⑵ 證明：當時，數列中的任意三項都不能構成等比數列；
⑶ 設，，試問在區間上是否存在實數使得．若存在，求出的一切可能的取值及相應的集合；若不存在，試說明理由．
【例18】 如果由數列生成的數列滿足對任意的均有，其中，則稱數列為「數列」．
⑴ 在數列中，已知，試判斷數列是否為「數列」；
⑵ 若數列是「數列」，，，求；
⑶ 若數列是「數列」，設，且，求證：．
【例19】 已知是遞增數列，其前項和為， 且，．
⑴求數列的通項；
⑵是否存在，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由；
⑶設，若對於任意的，
不等式恆成立，求正整數的最大值．
【例20】 已知是遞增數列，其前項和為，，且．
⑴求數列的通項；
⑵是否存在，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由；
⑶設，若對於任意的，不等式
恆成立，求正整數的最大值．
數列 版塊一 數列的概念 學生版
例1 請寫出下面數列的乙個通項公式 請寫出下面數列的乙個通項公式 例2 請寫出下面數列的乙個通項公式 請寫出下面數列的乙個通項公式 4，例3 觀察下列等式 可以推測，當時 例4 根據下面的圖形及相應的點數，在空格及括號中分別填上適當的圖形和數，寫出點數的通項公式.將全體正整數排成乙個三角形數陣 按照...
數列 版塊二 等差數列 等差數列的性質 學生版
例1 若三個數，適當排列後構成遞增等差數列，求的值和相應的數列 例2 若關於的方程和的四個根可組成首項為的等差數列，則的值是 例3 已知乙個數列的通項公式是 問是否是這個數列中的項？當分別為何值時，當為何值時，有最大值？並求出最大值 例4 已知等差數列共有項，其中奇數項之和為，偶數項之和為，則其公差...
數列 版塊二 等差數列 等差數列的定義 學生版
例1 判斷數，是否是等差數列 中的項，若是，是第幾項？例2 若數列是等差數列，且，則等於 abcd 例3 在等差數列中，求它的首項 公差與的值 例4 設是公差為正數的等差數列，若，則等於 a b c d 例5 在等差數列中，則是該數列的第 項 a 60b 61c 62 d 63 例6 在等差數列中，...