第三章一元一次方程單元基礎(教師版）
一、知識網路
二、目標認知
重點： 一元一次方程的解法，列方程解應用題
難點： 列方程解應用題
三、知識要點梳理
知識點一：一元一次方程及解的概念
1、一元一次方程：
一元一次方程的標準形式是：ax+b=0(其中x是未知數，a,b是已知數，且a≠0)。
要點詮釋：
一元一次方程須滿足下列三個條件：
（1） 只含有乙個未知數；
（2） 未知數的次數是1次；
（3） 整式方程．
2、方程的解：
判斷乙個數是否是某方程的解：將其代入方程兩邊，看兩邊是否相等．
知識點二：一元一次方程的解法
1、方程的同解原理（也叫等式的基本性質）
等式的性質1：等式兩邊加（或減）同乙個數（或式子），結果仍相等。
如果，那麼；(c為乙個數或乙個式子)。
等式的性質2：等式兩邊乘同乙個數，或除以同乙個不為0的數，結果仍相等。
如果，那麼；如果，那麼
要點詮釋：
分數的分子、分母同時乘以或除以同乙個不為0的數，分數的值不變。
即：（其中m≠0）
特別須注意：分數的基本的性質主要是用於將方程中的小數係數（特別是分母中的小數）化為整數，如方程：－=1.
6，將其化為： －=1.6。
方程的右邊沒有變化，這要與「去分母」區別開。
2、解一元一次方程的一般步驟：
解一元一次方程的一般步驟
要點詮釋：
理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，並能進行簡單應用:
①a≠0時，方程有唯一解；
②a=0，b=0時，方程有無數個解；
③a=0，b≠0時，方程無解。
知識點三：列一元一次方程解應用題
1、列一元一次方程解應用題的一般步驟：
（1）審題，分析題中已知什麼，未知什麼，明確各量之間的關係，尋找等量關係．
（2）設未知數，一般求什麼就設什麼為x，但有時也可以間接設未知數．
（3）列方程，把相等關係左右兩邊的量用含有未知數的代數式表示出來，列出方程．
（4）解方程．
（5）檢驗，看方程的解是否符合題意．
（6）寫出答案．
2、解應用題的書寫格式：
設→根據題意→解這個方程→答。
3、常見的一些等量關係
常見列方程解應用題的幾種型別：
知識點四：方程與整式、等式的區別
（1）從概念來看：
整式：單項式和多項式統稱整式。
等式：用等號來表示相等關係的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等號，所以它們不是等式，而是代數式。
方程：含有未知數的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必須明確兩點：①是等式；②含有未知數。兩者缺一不可。
（2）從是否含有等號來看：方程首先是乙個等式，它是用「＝」將兩個代數式連線起來的等式，而整式僅用運算符號連線起來，不含有等號。
（3）從是否含有未知量來看：等式必含有「＝」，但不一定含有未知量；方程既含有「＝」，又必須含有未知數。但整式必不含有等號，不一定含有未知量，分為單項式和多項式。
四、規律方法指導
1、判斷乙個式子是否是一元一次方程：
（1）首先看是否是方程，
（2）再看是否滿足一元一次方程的三個條件或對原式進行等價變形化簡後再看；
2、解一元一次方程常用的技巧有：
(1)有多重括號，去括號與合併同類項可交替進行。
(2)當括號內含有分數時，常由外向內先去括號，再去分母。
(3)當分母中含有小數時，可用分數的基本性質化成整數。
(4)運用整體思想，即把含有未知數的代數式看做整體進行變形。
四、經典例題透析
型別一：一元一次方程的相關概念
1、已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的個數是( )
a、5 b、6 c、7 d、8
思路點撥：方程是含有未知數的等式，根據定義逐個進行判斷，顯然②③不合題意。
解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六個，所以選b
總結昇華：根據定義逐個進行判斷是解題的基本方法，判斷時應注意兩點：一是等式；二是含有未知數，體現了對概念的理解與應用能力。
舉一反三：
[變式1]判斷下列方程是否是一元一次方程：
（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)
解析：判斷是否為一元一次方程需要對原方程進行化簡後再作判斷。
答案：（1）（2）（3）不是，（4）是
[變式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。
解析：分兩種情況：
（1）只含字母y，則有(a-3)(2a+5)＝0且a-3≠0
（2）只含字母x，則有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0 不可能
綜上，a的值為。
[變式3]（2011重慶江津）已知3是關於x的方程2x－a=1的解,則a的值是( )
a．－5 b．5 c．7 d．2
答案：b
型別二：一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合併同類項、係數化為1。如果我們在牢固掌握這一常規解題思路的基礎上，根據方程原形和特點，靈活安排解題步驟，並且巧妙地運用學過的知識，就可以收到化繁為簡、事半功倍的效果。
1．巧湊整數解方程：
2、思路點撥：仔細觀察發現，含未知數的項的係數和為，常數項的和故直接移項湊成整數比先去分母簡單。
解：移項，得。
合併同類項，得2x＝－1。
係數化為1，得x＝－。
舉一反三：
[變式]解方程：＝2x－5
解：原方程可變形為
＝2x－5
整理，得8x＋18－(2＋15x)＝2x－5，
去括號，得8x＋18－2－15x＝2x－5
移項，得8x－15x－2x＝－5－18＋2
合併同類項，得－9x＝－21
係數化為1，得x＝。
2．巧用觀察法解方程：
3、思路點撥：該方程可化為＝3，不難看出，當y＝1時，該方程左邊三項的值都是1，即左邊＝右邊，因原方程是一元一次方程，故只能有乙個解，於是可求得方程的解是y＝1。
解：由觀察可得y＝1
3．巧去括號解方程：
4、思路點撥：含多層括號的一元一次方程，要根據方程中各係數的特點，選擇適當的去括號的方法，因為題目中分數的分子和分母具有倍數關係，所以從外向內去括號可以使計算簡單。
解：去括號，得
去小括號，得
去分母，得(3x－5)－8＝8
去括號、移項、合併同類項，得3x＝21
兩邊同除以3，得x＝7
∴原方程的解為x＝7
舉一反三：
[變式]解方程：
解：依次移項、去分母、去大括號，得
依次移項、去分母、去中括號，得
依次移項、去分母、去小括號，得
，∴x＝48
4．運用拆項法解方程：
5、思路點撥：注意到，在解有分母的一元一次方程時，可以不直接去分母，而是逆用分數加減法法則，拆項後再合併，有時可以使運算簡便。
解：原方程逆用分數加減法法則，得
移項、合併同類項，得。
係數化為1，得。
5．巧去分母解方程：
6、思路點撥：當方程的分母含有小數，而小數之間又沒有特殊的倍數關係時，若直接去分母則會出現比較繁瑣的運算。為了避免這樣的運算。
應把分母化成整數。化整數時，利用分數的基本性質將分子、分母同時擴大相同的倍數即可。
解：原方程化為
去分母，得100x－(13－20x)＝7
去括號、移項、合併同類項，得120x＝20
兩邊同除以120，得x＝
∴原方程的解為
總結昇華：應用分數性質時要和等式性質相區別。可以化為同分母的，先化為同分母，再去分母較簡便。
舉一反三：
[變式]（2011山東濱州）依據下列解方程的過程，請在前面的括號內填寫變形步驟，在後面的括號內填寫變形依據。
解：原方程可變形為
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1
去括號，得9x+15=4x-2
得9x-4x=-15-2
合併，得5x=-17. (合併同類項)
得x 【答案】解：原方程可變形為 (_分式的基本性質_)
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性質2_)
去括號，得9x+15=4x-2. （去括號法則或乘法分配律_）
移項_______),得9x-4x=-15-2. (等式性質1_)
合併，得5x=-17. (合併同類項)
係數化為1____）,得x=. （等式性質2）
6．巧組合解方程：
7、思路點撥：按常規解法將方程兩邊同乘72化去分母，但運算較複雜，注意到左邊的第一項和右邊的第二項中的分母有公約數3，左邊的第二項和右邊的第一項的分母有公約數4，移項區域性通分化簡，可簡化解題過程。
解：移項通分，得
化簡，得
去分母，得8x－144＝9x－99。
移項、合併，得x＝－45。
7．巧解含有絕對值的方程：
8、|x－2|－3＝0
思路點撥：解含有絕對值的方程的基本思想是先去掉絕對值符號，轉化為一般的一元一次方程。對於只含一重絕對值符號的方程，依據絕對值的意義，直接去絕對值符號，化為兩個一元一次方程分別解之，即若|x|＝m，則x＝m或x＝－m；也可以根據絕對值的幾何意義進行去括號，如解法二。
解法一：移項，得|x－2|＝3
當x－2≥0時，原方程可化為x－2＝3，解得x＝5
當x－2＜0時，原方程可化為－(x－2)＝3，解得x＝－1。
所以方程|x－2|－3＝0的解有兩個：x＝5或x＝－1。
解法二：移項，得|x－2|＝3。
因為絕對值等於3的數有兩個：3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。
分別解這兩個一元一次方程，得解為x＝5或x＝－1。
舉一反三：
【變式1】（2011福建泉州）已知方程，那麼方程的解是________.
【答案】；
[變式2] 5|x|-16＝3|x|-4
解：5|x|-3|x|＝16-4
2|x|＝12
|x|＝6
x＝±6
[變式3]
解：|3x-1|＝8
3x-1＝±8
3x＝1±8
3x＝9或3x＝-7
x＝3或
8．利用整體思想解方程：
9、思路點撥：因為含有的項均在「」中，所以我們可以將作為乙個整體，先求出整體的值，進而再求的值。
解：移項通分，得：
化簡，得：
移項，係數化1得：
總結昇華：解一元一次方程有一般程式化的步驟，我們在解一元一次方程時，既要學會按部就班(嚴格按步驟)地解方程，又要能隨機應變(靈活打亂步驟)解方程。對於一般解題步驟與解題技巧來說，前者是基礎，後者是機智，只有真正掌握了一般步驟，才能熟能生巧。
一元一次方程知識點
一元一次方程複習題 分數姓名 一 方程識別題 方程必須滿足兩個條件 12一元一次方程也有兩個條件 12式子 1 2 3 4 5 6 7 8 9 其中方程有一元一次方程有 二 解一元一次方程 12 34 56 三 利用已學知識，構造一元一次方程 1 根據絕對值或平方數相加等於零 注意 1 已知，求和的...
一元一次方程
一元一次方程 測試題 湖北省鍾祥市羅集二中 431925 熊志新 一 選擇題 1 下列各種變形中，不正確的是 a 從3 2 2可得到2 3 b 從6 2 1可得到6 2 1 c 從21 50 60 60 42 可得到21 50 60 62 42 d 從可得到3 1 2 2 2 方程去分母是 a 12...
一元一次方程
主備 年級 七年級 學習目標 1.理解方程的概念，掌握列方程的基本方法 2.理解一元一次方程的概念，能夠識別一元一次方程 3.理解方程的解與解方程的概念，會驗證某些數是否為指定的方程的解 一 溫故互查 1.方程的定義 2.判斷下列各式哪些是方程 1 2 3 x 2 1 1 2x 4 1 5x 8y ...