2023年全國中考數學試題分類解析彙編
專題4：二次函式的幾何應用
一、選擇題
1.（2012甘肅蘭州4分）二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是【 】
a．k＜－3 b．k＞－3 c．k＜3 d．k＞3
二、填空題
三、解答題
1. （2012天津市10分）已知拋物線y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的頂點為p（x0，y0），點a（1，ya）、b（0，yb）、c（－1，yc）在該拋物線上．
（ⅰ）當a=1，b=4，c=10時，①求頂點p的座標；②求的值；
（ⅱ）當y0≥0恆成立時，求的最小值．
2. （2012上海市12分）如圖，在平面直角座標系中，二次函式y=ax2+6x+c的圖象經過點a（4，0）、b（﹣1，0），與y軸交於點c，點d**段oc上，od=t，點e在第二象限，∠ade=90°，tan∠dae=，ef⊥od，垂足為f．
（1）求這個二次函式的解析式；
（2）求線段ef、of的長（用含t的代數式表示）；
（3）當∠eca=∠oac時，求t的值．
3. （2012廣東廣州14分）如圖，拋物線與x軸交於a、b兩點（點a在點b的左側），與y軸交於點c．
（1）求點a、b的座標；
（2）設d為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△acd的面積等於△acb的面積時，求點d的座標；
（3）若直線l過點e（4，0），m為直線l上的動點，當以a、b、m為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．
4. （2012廣東肇慶10分）已知二次函式圖象的頂點橫座標是2，與x軸交於a（x1，0）、b（x2，0），x1﹤0﹤x2，與y軸交於點c，o為座標原點，．
（1）求證： ；
（2）求m、n的值；
（3）當p﹥0且二次函式圖象與直線僅有乙個交點時，求二次函式的最大值．
5. （2012廣東珠海7分）如圖，二次函式y=（x﹣2）2+m的圖象與y軸交於點c，點b是點c關於該二次函式圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函式y=kx+b的圖象經過該二次函式圖象上點a（1，0）及點b．
（1）求二次函式與一次函式的解析式；
（2）根據圖象，寫出滿足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值範圍．
6. （2012浙江杭州12分）在平面直角座標系內，反比例函式和二次函式y=k（x2+x﹣1）的圖象交於點a（1，k）和點b（﹣1，﹣k）．
（1）當k=﹣2時，求反比例函式的解析式；
（2）要使反比例函式和二次函式都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值範圍；
（3）設二次函式的圖象的頂點為q，當△abq是以ab為斜邊的直角三角形時，求k的值．
7. （2012浙江寧波12分）如圖，二次函式y=ax2+bx+c的圖象交x軸於a（﹣1，0），b（2，0），交y軸於c（0，﹣2），過a，c畫直線．
（1）求二次函式的解析式；
（2）點p在x軸正半軸上，且pa=pc，求op的長；
（3）點m在二次函式圖象上，以m為圓心的圓與直線ac相切，切點為h．
①若m在y軸右側，且△chm∽△aoc（點c與點a對應），求點m的座標；
②若⊙m的半徑為，求點m的座標．
8. （2012浙江溫州14分）如圖，經過原點的拋物線與x軸的另乙個交點為a.過點作直線軸於點m，交拋物線於點b.
記點b關於拋物線對稱軸的對稱點為c（b、c不重合）.鏈結cb,cp。
（1）當時，求點a的座標及bc的長；
（2）當時，鏈結ca，問為何值時ca⊥cp？
（3）過點p作pe⊥pc且pe=pc，問是否存在，使得點e落在座標軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，並寫出相對應的點e座標；若不存在，請說明理由。
9. （2012江蘇連雲港12分）如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c，點o為座標原點，點d為拋物線的頂點，點e在拋物線上，點f在x軸上，四邊形ocef為矩形，且of＝2，ef＝3，
(1)求拋物線所對應的函式解析式；
(2)求△abd的面積；
(3)將△aoc繞點c逆時針旋轉90°，點a對應點為點g，問點g是否在該拋物線上？請說明理由．
10. （2012江蘇南通14分）如圖，經過點a(0，－4)的拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸相交於點b(－0，0)和c，o為座標原點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)將拋物線y＝x2＋bx＋c向上平移個單位長度、再向左平移m(m＞0)個單位長度，得到新拋物
線．若新拋物線的頂點p在△abc內，求m的取值範圍；
(3)設點m在y軸上，∠omb＋∠oab＝∠acb，求am的長．
11. （2012江蘇泰州10分）如圖，在平面直角座標系xoy中，邊長為2的正方形oabc的頂點a、c分別在x軸、y軸的正半軸上，二次函式的圖象經過b、c兩點．
（1）求該二次函式的解析式；
（2）結合函式的圖象探索：當y>0時x的取值範圍．
12. （2012湖北黃石10分）已知拋物線c1的函式解析式為，若拋物線c1經過
點，方程的兩根為，，且。
（1）求拋物線c1的頂點座標.
（2）已知實數，請證明：≥,並說明為何值時才會有.
（3）若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位後得到拋物線c2，設， 是c2上的兩個不同點，且滿足： ，，.請你用含有的表示式表示出△aob的面積s，並求出s的最小值及s取最小值時一次函式oa的函式解析式。
（參考公式：在平面直角座標系中，若，，則p，q兩點間的距離）
13. （2012湖北武漢12分）如圖1，點a為拋物線c1：的頂點，點b的座標為(1，0)，直線ab交拋物線c1於另一點c．
(1)求點c的座標；
(2)如圖1，平行於y軸的直線x＝3交直線ab於點d，交拋物線c1於點e，平行於y軸的直線x＝a交直線ab於f，交拋物線c1於g，若fg：de＝4∶3，求a的值；
(3)如圖2，將拋物線c1向下平移m(m＞0)個單位得到拋物線c2，且拋物線c2的頂點為點p，交x軸於點m，交射線bc於點n，nq⊥x軸於點q，當np平分∠mnq時，求m的值．
圖1圖2
14. （2012湖北荊門10分）已知：y關於x的函式y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點．
（1）求k的取值範圍；
（2）若x1，x2是函式圖象與x軸兩個交點的橫座標，且滿足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②當k≤x≤k+2時，請結合函式圖象確定y的最大值和最大值．
15. （2012湖北恩施8分）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交於a（﹣1，0），c（2，3）兩點，與y軸交於點n．其頂點為d．
（1）拋物線及直線ac的函式關係式；
（2）設點m（3，m），求使mn+md的值最小時m的值；
（3）若拋物線的對稱軸與直線ac相交於點b，e為直線ac上的任意一點，過點e作ef∥bd交拋物線於點f，以b，d，e，f為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點e的座標；若不能，請說明理由；
（4）若p是拋物線上位於直線ac上方的乙個動點，求△apc的面積的最大值．
16. （2012湖北黃岡14分）如圖，已知拋物線的方程c1:與x 軸相交於點b、c，與y 軸相交於點e，且點b 在點c 的左側.
(1)若拋物線c1過點m(2，2)，求實數m 的值．
(2)在(1)的條件下，求△bce的面積．
(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點h，使bh+eh最小，並求出點h的座標．
(4)在第四象限內，拋物線c1上是否存在點f，使得以點b、c、f為頂點的三角形與△bce相似?若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．
17. （2012湖南常德10分）如圖，已知二次函式的影象過點a(－4，3），b(4，4).
（1）求二次函式的解析式：
（2）求證：△acb是直角三角形；
（3）若點p在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點p作ph垂直x軸於點h，是否存在以p、h、d、為頂點的三角形與△abc相似？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由。
18. （2012湖南懷化10分）]如圖，拋物線m：與x軸的交點為a、b，與y軸的交點為c，頂點為,將拋物線m繞點b旋轉，得到新的拋物線n,它的頂點為d.
（1）求拋物線n的解析式；
（2）設拋物線n與x軸的另乙個交點為e，點p是線段ed上乙個動點（p不與e、d重合），過點p作y軸的垂線，垂足為f，連線ef.如果p點的座標為，△pef的面積為s，求s與x的函式關係式，寫出自變數x的取值範圍，並求出s的最大值；
（3）設拋物線m的對稱軸與x軸的交點為g，以g為圓心，a、b兩點間的距離為直徑作⊙g，試判斷直線cm與⊙g的位置關係，並說明理由.
二次函式專題2019
1 如圖，過a 1，0 b 3，0 作x軸的垂線，分別交直線y 4 x於c d兩點 拋物線y ax2 bx c經過o c d三點 1 求拋物線的表示式 2 點m為直線od上的乙個動點，過m作x軸的垂線交拋物線於點n，問是否存在這樣的點m，使得以a c m n為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時...
二次函式專題
一 填空題 1 在區間 2 上，函式f x x2 px q與g x 2x 在同一點取得相同的最小值，那麼f x 在 2 上的最大值是 42 設函式f x 若f 4 f 0 f 2 2，則關於x的方程f x x 的解的個數為 3 2,1,2 3 函式是單調函式的充要條件的是 4 對於二次函式，若在區間...
二次函式的應用
1 二次函式y x2 12 k x 12,當x 1時，y隨著x的增大而增大，當x 1時，y隨著x的增大而減小，則k的值應取 a 12 b 11 c 10 d 9 2 下列四個函式中，y的值隨著x值的增大而減小的是 a b c d 3 拋物線y ax2 bx c的圖象如圖，oa oc，則 a ac 1...