初高中數學銜接
第三課時
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判別式
我們知道，對於一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為
因為a≠0，所以，4a2＞0．於是
（1）當b2－4ac＞0時，方程①的右端是乙個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根
x1，2＝；
（2）當b2－4ac＝0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數根
x1＝x2＝－；
（3）當b2－4ac＜0時，方程①的右端是乙個負數，而方程①的左邊一定大於或等於零，因此，原方程沒有實數根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號「δ」來表示．
綜上所述，對於一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 當δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根 x1，2＝；
（2）當δ＝0時，方程有兩個相等 x1＝x2＝－；
（3）當δ＜0時，方程沒有實數根．
例1 判定下列關於x的方程的根的情況（其中a為常數），如果方程有實數根，寫出方程的實數根．
（1）x2－3x＋3＝02）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，於是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數學中乙個非常重要的方法，在今後的解題中會經常地運用這一方法來解決問題．
2.1.2 根與係數的關係（韋達定理）
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數根
，，則有
；．所以，一元二次方程的根與係數之間存在下列關係：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那麼x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關係也被稱為韋達定理．
特別地，對於二次項係數為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化為 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由於x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有
以兩個數x1，x2為根的一元二次方程（二次項係數為1）是
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
例2 已知方程的乙個根是2，求它的另乙個根及k的值．
例3 已知關於x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數根，並且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．
分析： 本題可以利用韋達定理，由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關於m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由於所給的方程有兩個實數根，因此，其根的判別式應大於零．
說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對應的m的範圍，然後再由「兩個實數根的平方和比兩個根的積大21」求出m的值，取滿足條件的m的值即可．
（1）在今後的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式δ是否大於或大於零．因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根．
例4 已知兩個數的和為4，積為－12，求這兩個數．
分析：我們可以設出這兩個數分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數．也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解．
說明：從上面的兩種解法我們不難發現，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷．
例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根．
（1）求| x1－x2|的值； （2）求的值；（3）x13＋x23．
說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是乙個重要的量，今後我們經常會遇到求這乙個量的問題，為了解題簡便，我們可以**出其一般規律：
設x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則
，，∴| x1－x2|＝．
於是有下面的結論：
若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則| x1－x2|＝（其中δ＝b2－4ac）．
今後，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論．
例6 若關於x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大於零、另一根小於零，求實數a的取值範圍．
例7. 當m取什麼實數時，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分別有:
①兩個正根一正根和一負根；
③正根絕對值大於負根絕對值；④兩根都大於1.
習題a 組
1．選擇題:
（1）已知關於x的方程x2＋kx－2＝0的乙個根是1，則它的另乙個根是（ ）
（a）－3b）3c）－2d）2
（2）下列四個說法：
①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；
②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；
③方程3 x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為；
④方程3 x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．
其中正確說法的個數是
（a）1個b）2個c）3個 （d）4個
（3）關於x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的乙個根是0，則a的值是（ ）
（a）0b）1c）－1 （d）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k
（2）方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，則α2＋β2
（3）已知關於x的方程x2－ax－3a＝0的乙個根是－2，則它的另乙個根是
（4）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則| x1－x2
3．試判定當m取何值時，關於x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有兩個不相等的實數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？
4．求乙個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數．
b 組
1．選擇題:
若關於x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的兩根互為相反數，則k的值為
（a）1，或－1 （b）1c）－1 （d）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個實數根，則m2n＋mn2－mn的值等於
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個實數根，那麼代數式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是
3．已知關於x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實數k的取值範圍．
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：
（1）| x1－x2|和；
（2）x13＋x23．
5．關於x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足| x1－x2|＝2，求實數m的值．
c 組
1．選擇題：
（1）已知乙個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等於
（ab）3c）6d）9
（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則的值為
（a）6b）4c）3d）
（3）如果關於x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實數根α，β，則α＋β的取值範圍為
（abc）α＋β≥1 （d）α＋β≤1
（4）已知a，b，c是δabc的三邊長，那麼方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是
（a）沒有實數根b）有兩個不相等的實數根
（c）有兩個相等的實數根d）有兩個異號實數根
2．填空：
若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，則m＝ ．
3． 已知x1，x2是關於x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數根．
（1）是否存在實數k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（2）求使－2的值為整數的實數k的整數值；（3）若k＝－2，，試求的值．
4．已知關於x的方程．
（1）求證：無論m取什麼實數時，這個方程總有兩個相異實數根；
初高中數學銜接 上課用學生
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初高中數學銜接計畫
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