2023年宜賓市初高中數學銜接知識複習之一
數與式的運算
一.1 絕對值
絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零．即
絕對值的幾何意義：乙個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離．
兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示在數軸上，數和數之間的距離．
例1 解不等式：＞4．
解法一：由，得；由，得；
①若，不等式可變為，
即＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若，不等式可變為，
即1＞4，
∴不存在滿足條件的x；
③若，不等式可變為，
即＞4， 解得x＞4．
又x≥3，\點b之間的距離|pb|，即|pb|＝|x－3|．
所以，不等式
『由|ab|＝2，可知
點p 在點c(座標為0)的左側、或點p在點d(座標為4)的右側．
x＜0，或x＞4．
練習1．填空：
（1）若，則x若，則x
（2）如果，且，則b若，則c
2．選擇題：
下列敘述正確的是
（a）若，則 （b）若，則
（c）若，則 （d）若，則
3．化簡：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
二. 乘法公式
我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
（2）完全平方公式 ．
我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
（2）立方差公式
（3）三數和平方公式 ；
（4）兩數和立方公式 ；
（5）兩數差立方公式 ．
對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明．
例1 計算：．
解法一：原式=
解法二：原式=
例2 已知，，求的值．
解：．練習
1．填空：
（1（2
（32．選擇題：
（1）若是乙個完全平方式，則等於
（abc） （d）
（2）不論，為何實數，的值
（a）總是正數 （b）總是負數 （c）可以是零 （d）可以是正數也可以是負數
三. 二次根式
一般地，形如的代數式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如，等是無理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等． 一般地，與，與，與互為有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程
在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對於二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然後通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合併同類二次根式．
2．二次根式的意義
例1 將下列式子化為最簡二次根式：
（1）； （2）； （3）．
解： （1）；
（2）；
（3）．
例2 計算：．
解法一： ＝
＝＝＝．解法二： ＝
例3 試比較下列各組數的大小：
（1）和； （2）和.
解： （1）∵，
又，∴＜．
2）∵又 4＞2，
4＞＋2，
例4 化簡：．
解： ＝
＝＝＝．例 5 化簡：（12）． 解：（1）原式
． （2）原式=，
∵，∴，
所以，原式＝．
例 6 已知，求的值 ．
解： ∵，
， ∴．
練習1．填空：
（1（2）若，則的取值範圍是
（3（4）若，則
2．選擇題：
等式成立的條件是
（ab） （c） （d）
3．若，求的值．
4．比較大小：2填「＞」，或「＜」）．
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