臨洮二中數學組董學峰
★ 專題一數與式的運算
【要點回顧】
1．絕對值
[1]絕對值的代數意義即
[2]絕對值的幾何意義的距離．
[3]兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示的距離．
[4]兩個絕對值不等式:；．
2．乘法公式
我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式
[2]完全平方和公式
[3]完全平方差公式
我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：
[公式1]
[公式2] (立方和公式)
[公式3] (立方差公式)
說明:上述公式均稱為「乘法公式」．
3．根式
[1]式子叫做二次根式，其性質如下：
(1234
[2]平方根與算術平方根的概念叫做的平方根，記作，其中叫做的算術平方根．
[3]立方根的概念叫做的立方根，記為
4．分式
[1]分式的意義形如的式子，若b中含有字母，且，則稱為分式．當m≠0時，分式具有下列性質： （12
[2]繁分式當分式的分子、分母中至少有乙個是分式時，就叫做繁分式，如，
說明：繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質．
[3]分母（子）有理化
把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程
【例題選講】
例1 解下列不等式：（1） （2）＞4．
例2 計算：
（12）
（34）
例3 已知，求的值．
例4 已知，求的值．
例5 計算(沒有特殊說明，本節中出現的字母均為正數)：
（12）
（34）
例6 設，求的值．
例7 化簡：（1） （2）
（1）解法一：原式=
解法二：原式=
（2）解：原式=
說明：(1) 分式的乘除運算一般化為乘法進行，當分子、分母為多項式時，應先因式分解再進行約分化簡；(2) 分式的計算結果應是最簡分式或整式．
【鞏固練習】
1． 解不等式
2． 設，求代數式的值．
3． 當，求的值．
4． 設，求的值．
5． 計算
6．化簡或計算：
(12)
(34)
★ 專題二因式分解
【要點回顧】
因式分解是代數式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能．
因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等．
1．公式法
常用的乘法公式：
[1]平方差公式
[2]完全平方和公式
[3]完全平方差公式
[4][5] (立方和公式)
[6] (立方差公式)
由於因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公式可以進行因式分解．
2．分組分解法
從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對於四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取．因此，可以先將多項式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關鍵在於如何分組．
常見題型：（1）分組後能提取公因式 （2）分組後能直接運用公式
3．十字相乘法
（1）型的因式分解
這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：①二次項係數是1；②常數項是兩個數之積；③ 一次項係數是常數項的兩個因數之和．∵，∴
運用這個公式，可以把某些二次項係數為1的二次三項式分解因式．
（2）一般二次三項式型的因式分解
由我們發現，二次項係數分解成，常數項分解成，把寫成，這裡按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等於的一次項係數，那麼就可以分解成，其中位於上一行，位於下一行．這種借助畫十字交叉線分解係數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定乙個二次三項式能否用十字相乘法分解．
4．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添項法
【例題選講】
例1 （公式法）分解因式：(1)；(2)
例2 （分組分解法）分解因式：（1） （2）
例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2)
34)解：（1）
（2）（3）分析：把看成的二次三項式，這時常數項是，一次項係數是，把分解成與的積，而，正好是一次項係數．
解： (4) 由換元思想，只要把整體看作乙個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式．解：
例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2)
解：(1)
(2)說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項係數不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數分解，交叉相乘後，若原常數為負數，用減法」湊」，看是否符合一次項係數，否則用加法」湊」，先」湊」絕對值，然後調整，新增正、負號．
例5 （拆項法）分解因式
【鞏固練習】
1．把下列各式分解因式：
(12)
(345)
2．已知，求代數式的值．
3．現給出三個多項式，，，，請你選擇其中兩個進行加法運算，並把結果因式分解.
4．已知，求證：．
★ 專題三一元二次方程根與係數的關係
【要點回顧】
1．一元二次方程的根的判斷式
一元二次方程，用配方法將其變形為
由於可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：
對於一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
[1]當δ 0時，方程有兩個不相等的實數根
[2]當δ 0時，方程有兩個相等的實數根
[3]當δ 0時，方程沒有實數根．
2．一元二次方程的根與係數的關係
定理：如果一元二次方程的兩個根為，那麼：
說明：一元二次方程根與係數的關係由十六世紀的法國數學家韋達發現，所以通常把此定理稱為」韋達定理」．上述定理成立的前提是．
特別地，對於二次項係數為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化為 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由於x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有
以兩個數x1，x2為根的一元二次方程（二次項係數為1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
【例題選講】
例1 已知關於的一元二次方程，根據下列條件，分別求出的範圍：
（1）方程有兩個不相等的實數根； （2）方程有兩個相等的實數根
（3）方程有實數根4）方程無實數根．
例2 已知實數、滿足，試求、的值．
例3 若是方程的兩個根，試求下列各式的值：
(1)； (2)； (34)．
例4 已知是一元二次方程的兩個實數根．
(1) 是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
(2) 求使的值為整數的實數的整數值．
解：(1) 假設存在實數，使成立．∵ 一元二次方程的兩個實數根，∴，又是一元二次方程的兩個實數根，∴
∴，但．
∴不存在實數，使成立．
(2) ∵
∴ 要使其值是整數，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數的實數的整數值為．
【鞏固練習】
1．若是方程的兩個根，則的值為( )
abcd．
2．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關係是( )
a． bcd．大小關係不能確定
3．設是方程的兩實根，是關於的方程的兩實根，則
4．已知實數滿足，則
5．已知關於的方程的兩個實數根的平方和等於11，求證：關於的方程有實數根．
6．若是關於的方程的兩個實數根，且都大於1．
(1) 求實數的取值範圍；(2) 若，求的值．
★專題四平面直角座標系、一次函式、反比例函式
【要點回顧】
1．平面直角座標系
[1組成平面直角座標系。 叫做軸或橫軸叫做軸或縱軸，軸與軸統稱座標軸，他們的公共原點稱為直角座標系的原點。
[2] 平面直角座標系內的對稱點：
2．函式圖象
初高中數學銜接知識點專題
初中的數學與高中的知識點有密切的聯絡，學好數學對高考的總分影響很大！專題一數與式的運算 要點回顧 1 絕對值 1 絕對值的代數意義即 2 絕對值的幾何意義的距離 3 兩個數的差的絕對值的幾何意義 表示的距離 4 兩個絕對值不等式 2 乘法公式 我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式 1 平方差公式 ...
初高中數學銜接知識點專題三
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初高中數學銜接知識點專題六
專題六二次函式的最值問題 要點回顧 1 二次函式的最值 二次函式在自變數取任意實數時的最值情況 當時，函式在處取得最小值，無最大值 當時，函式在處取得最大值，無最小值 2 二次函式最大值或最小值的求法 第一步確定a的符號，a 0有最小值，a 0有最大值 第二步配方求頂點，頂點的縱座標即為對應的最大值...