引入乘法公式
第一講因式分解
第二講函式與方程
第三講三角形的「四心」
乘法公式
我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
（2）完全平方公式 ．
我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
（2）立方差公式
（3）三數和平方公式 ；
（4）兩數和立方公式 ；
（5）兩數差立方公式 ．
對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明．
例1 計算：．
解法一：原式=
解法二：原式=
例2 已知，，求的值．
解：．練習
1．填空：
（1 （2
(32．選擇題：
（1）若是乙個完全平方式，則等於
（abc） （d）
（2）不論，為何實數，的值
（a）總是正數b）總是負數
（c）可以是零d）可以是正數也可以是負數
第一講因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定係數法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
1）x2－3x＋22）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
說明：（2）x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3） ＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如圖1．1－5所示）．
課堂練習
一、填空題：
1、把下列各式分解因式：
（1（2
（3（4
（5（6
（72、
3、若則，。
二、選擇題：（每小題四個答案中只有乙個是正確的）
1、若多項式可分解為，則、的值是（ ）
a、， b、， c、， d、，
2、若其中、為整數，則的值為（ ）
a、或 b、 c、 d、或
2．提取公因式法
例2 分解因式：
（12）
解： （1）．=
（2）==
或＝＝＝
＝＝3：公式法
例3 分解因式： （1） （2）
解：(1) =
(2) =
課堂練習
一、，，的公因式是
4．分組分解法
例4 （12）．
（2）=
或 =
==．第二講函式與方程
2.1.2 根與係數的關係（韋達定理）
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那麼x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關係也被稱為韋達定理．
例1 已知方程的乙個根是2，求它的另乙個根及k的值．
例2 已知關於x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數根，並且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．
解：設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化簡，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
當m＝－1時，方程為x2＋6x＋5＝0，δ＞0，滿足題意；
當m＝17時，方程為x2＋30x＋293＝0，δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，捨去．綜上，m＝17．
例3 若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根．
（1）求| x1－x2|的值；
（2）求的值；
（3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根，
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝
6＝，x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
2－3×()]＝－．
例6 若關於x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大於零、另一根小於零，求實數a的取值範圍．
解：設x1，x2是方程的兩根，則
x1x2＝a－4＜0
且δ＝(－1)2－4(a－4)＞0
由①得 a＜4，
由②得 a＜．∴a的取值範圍是a＜4．
練習1．選擇題：若關於x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值範圍是
（a）m＜ （b）m＞－ （c）m＜，且m≠0 （d）m＞－，且m≠0
2．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，則
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是
2．2 二次函式
2.2.1 二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質
二次函式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函式圖象的開口大小及方向；h決定了二次函式圖象的左右平移，而且「h正左移，h負右移」；k決定了二次函式圖象的上下平移，而且「k正上移，k負下移」．
例1 已知函式y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函式的最大值與最小值，並求出函式取最大值和最小值時所對應的自變數x的值．
分析：本例中函式自變數的範圍是乙個變化的範圍，需要對a的取值進行討論．
解：（1）當a＝－2時，函式y＝x2的圖象僅僅對應著乙個點(－2，4)，所以，函式的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；
（2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函式取最大值y＝4；當x＝a時，函式取最小值y＝a2；
（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函式取最大值y＝4；當x＝0時，函式取最小值y＝0；
（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函式取最大值y＝a2；當x＝0時，函式取最小值y＝0．
2.2.2 二次函式的三種表示方式
通過上一小節的學習，我們知道，二次函式可以表示成以下兩種形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中頂點座標是(－h，k)．
3．交點式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函式圖象與x軸交點的
例1 已知二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等於2，求此二次函式的表示式．
練習1．填空：
（1）已知二次函式的圖象經過與x軸交於點(－1，0)和(2，0)，則該二次函式的解析式可設為y＝aa≠0) ．
（2）二次函式y＝－x2+2x＋1的函式圖象與x軸兩交點之間的距離為
第三講三角形的「四心」
三角形是最重要的基本平面圖形，很多較複雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.
如圖3.2-1 ，在三角形△abc中，有三條邊，三個頂點，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.
三角形的三條中線相交於一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部，恰好是每條中線的三等分點.
三角形的三條角平分線相交於一點，是三角形的內心. 三角形的內心在三角形的內部，它到三角形的三邊的距離相等.（如圖3.2-5）
三角形的三條高所在直線相交於一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）
過不共線的三點a、b、c有且只有乙個圓，該圓是三角形abc的外接圓，圓心o為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點.
初高中數學銜接教材
第一章乘法公式十字相乘法 1 乘法公式 我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式 1 平方差公式 2 完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式 1 立方和公式 2 立方差公式 3 兩數和立方公式 4 兩數差立方公式 5 三數和平方公式 其中 3 4 統稱為完全立方公式。的展開式的係數，如右...
初高中數學銜接教材 學生
一 數與式的運算 1 絕對值 絕對值的代數意義 正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零 即 絕對值的幾何意義 乙個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離 兩個數的差的絕對值的幾何意義 表示在數軸上，數和數之間的距離 例解方程 4 練習1 填空 1 若，則x若，則x 2...
初高中數學銜接計畫
初中生經過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心 旺盛的求知慾，都有把高中課程學好的願望。但經過一段時間，他們普遍感覺高中數學並非想象中那麼簡單易學，而是太枯燥 乏味 抽象 晦澀，有些章節如聽天書。在做習題 課外練習時，又是磕磕碰碰 跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當部分學生進入數學...