第一章乘法公式十字相乘法
§1 乘法公式
我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
（2）完全平方公式 ．
我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
（2）立方差公式
（3）兩數和立方公式 ；
（4）兩數差立方公式 ；
（5）三數和平方公式 ．
其中（3）（4）統稱為完全立方公式。
的展開式的係數，如右圖中楊輝三角的第
三、四、五、六、七行。
楊輝，字謙光，南宋時期杭州人。在他2023年所著的《詳解九章演算法》一書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為「開方作法本源」圖，並說明此表引自11世紀前半葉賈憲的《釋鎖算術》，並繪畫了「古法七乘方圖」。故此，楊輝三角又被稱為「賈憲三角」。
在歐洲，直到2023年，法國數學家帕斯卡在13歲時發現了這一規律，因此歐洲人稱楊輝三角為帕斯卡三角（七年級下冊課本第80頁）。這些知識，我們將在高二理科數學「二項式定理」中學習。
例1．化簡：．
例2．已知，，求的值．
例3．已知,求y的最小值，並求y取最小值時a、b的值.
【練習一】
1．填空：
（4）觀察下列各式：
根據上面的規律可得：
2．若是乙個完全平方式，則等於
abcd
3．不論，為何實數，的值
a 總是正數 b 總是負數 c 可以是零 d 可以是正數也可以是負數
4．化簡：
5．已知,求的值。
6．設的值。
§2 十字相乘法
我們學過的因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、求根公式法。另外還應學會十字相乘法。
我們來討論這類二次三項式的因式分解。
在該多項式中，二次項x2可以分解成兩個x的積（如圖中左邊的兩個x），而又可以分解成a與b的積（如圖中右邊的兩個數a與b），再分別將左上方的x與右下方的b、左下方的x與右上方的a之間用線段相連並相乘，就得到了關於x的一次項與，它們的和也就是原多項式的中間一項。則：
十字相乘法的特點：圖中縱向相乘得平方項和常數項，若交叉相乘再相加恰好是二次三項式的中間項，則二次三項式可分解成兩個一次項的乘積，這兩個一次項分別是圖中上一行的和及下一行的和。
例4．分解因式： ．
【練習二】
1．在多項式（1） （2） （3）
（4） （5）中，有相同因式的是
a 只有（1）（2b 只有（3）（4）
c 只有（3）（5d （1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2．分解因式得
a b
c d
3．若多項式可分解為，則、的值是
4．若其中、為整數，則的值為
a 或bcd 或
5．；6．若, 則。
7．將下列各式分解因式：
第二章一元二次方程根與係數的關係
一元二次方程時：有兩個實數根
，。一元二次方程的根x1，x2與係數之間存在下列關係：
。這一關係通常稱為韋達定理．此外，還可以得到。
特別地，當a=1時，
例1．已知方程的乙個根是2，求它的另乙個根及k的值．
例2．已知關於x的方程有兩個實數根，並且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．
例3．已知兩個數的和為4，積為 -12，求這兩個數．
例4．若x1和x2是一元二次方程的兩根，且。
（1）求| x1－x2|的值；（2）求的值。
例5．若關於x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大於零、另一根小於零，求實數a的取值範圍．
【練習三】
1．方程的根的情況是
a 有乙個實數根b 有兩個不相等的實數根
c 有兩個相等的實數根d 沒有實數根
2．若關於x的方程有兩個不相等的實數根，則實數m的取值範圍是 （ ）
a mb mc m＜，且m ≠ 0 d m＞，且m ≠ 0
3．已知關於x的方程x2＋kx－2＝0的乙個根是1，則它的另乙個根是
a －3b 3c －2d 2
4．關於x的一元二次方程的乙個根是0，則a的值是
a 0b 1c －1d 0或1
5．若關於x的方程的兩根互為相反數，則k的值為
a 1或－1 b 1c －1d 0
6．若乙個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等於（ ）
ab 3c 6d 9
7．若x1，x2是方程的兩個根，則的值為
a 6b 4c 3d 1
8．若關於x的方程有兩個實數根α、β，則α＋β的取值範圍為（ ）
9．若方程的兩根分別是x1和x2，則；
10．以 3和1為根的一元二次方程是
11．已知關於x的方程的乙個根是－2，則另乙個根是
12．方程的兩根為x1和x2，則| x1－x2
13．方程的兩個實數根為a，b，則的值是
14．已知，當k取何值時，方程有兩個不相等的實數根？
15．已知方程的兩根為x1和x2，求的值．
16．試判定當m取何值時，關於x的一元二次方程有兩個不相等的實數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？
17．求乙個一元二次方程，使它的兩根分別是方程兩根的倒數．
18．關於x的方程的兩根x1、x2滿足| x1－x2|＝2，求實數m的值．
初高中數學銜接教材
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初高中數學銜接教材 學生
一 數與式的運算 1 絕對值 絕對值的代數意義 正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零 即 絕對值的幾何意義 乙個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離 兩個數的差的絕對值的幾何意義 表示在數軸上，數和數之間的距離 例解方程 4 練習1 填空 1 若，則x若，則x 2...
初高中數學銜接計畫
初中生經過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心 旺盛的求知慾，都有把高中課程學好的願望。但經過一段時間，他們普遍感覺高中數學並非想象中那麼簡單易學，而是太枯燥 乏味 抽象 晦澀，有些章節如聽天書。在做習題 課外練習時，又是磕磕碰碰 跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當部分學生進入數學...