一、本章知識結構
二、重點與難點
重點：垂線的概念和平行線的性質與判定。 難點：對學說推理能力的培養。
三、知識歸納及典型例題
1、鄰補角與對頂角
兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關係的角，它們的概念及性質如下表：
注意：⑴對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關係的兩個角；
⑵如果∠α與∠β是對頂角，那麼一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那麼∠α與∠β不一定是對頂角。
⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角。
（4）兩直線相交形成的四個角中，每乙個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有乙個。
2、垂線
⑴定義，當兩條直線相交所成的四個角中，有乙個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
符號語言記作：
如圖所示：ab⊥cd，垂足為o
⑵垂線性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)
⑶垂線性質2：連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。
3、垂線的畫法：
⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。
注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可**段上，也可以**段的延長線上。
畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。
4、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，
叫做點到直線的距離，記的時候應該結合圖形進行記憶。
如圖，po⊥ab，同p到直線ab的距離是po的長。
po是垂線段。po是點p到直線ab所有線段中最短的一條。
現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是「垂線段最短」性質的應用。
5、如何理解「垂線」、「垂線段」、「兩點間距離」、
「點到直線的距離」這些相近而又相異的概念
分析它們的聯絡與區別
⑴垂線與垂線段區別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯絡：具有垂直於已知直線的共同特徵。(垂直的性質)
⑵兩點間距離與點到直線的距離區別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。 聯絡：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。
⑶線段與距離距離是線段的長度，是乙個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同6.平行線的概念：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作∥。
7.兩條直線的位置關係：在同一平面內，兩條直線的位置關係只有兩種：⑴相交；⑵平行。
因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這裡，我們把重合的兩直線看成一條直線）
判斷同一平面內兩直線的位置關係時，可以根據它們的公共點的個數來確定：
①有且只有乙個公共點，兩直線相交；
②無公共點，則兩直線平行；
③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）
8.平行公理――平行線的存在性與惟一性
經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
9.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行
如左圖所示
注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行於第三條直線，才會結論，這兩條直線都平行。
10、三線八角
兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構成了同位角、內錯角與同旁內角。
如圖，直線被直線所截
①∠1與∠5在截線的同側，同在被截直線的上方，
叫做同位角（位置相同）
②∠5與∠3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內），叫做內錯角（位置在內且交錯）
③∠5與∠4在截線的同側，在被截直線之間（內），叫做同旁內角。
④三線八角也可以成模型中看出。同位角是「f」型；內錯角是「z」型；同旁內角是「u」型。
11.兩直線平行的判定方法
方法一：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行
簡稱：同位角相等，兩直線平行
方法二：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行
簡稱：內錯角相等，兩直線平行
方法三：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行
簡稱：同旁內角互補，兩直線平行
幾何符號語言：12
請同學們注意書寫的順序以及前因後果，平行線的判定是由角相等，然後得出平行。平行線的判定是寫角相等，然後寫平行。
注意：⑴幾何中，圖形之間的「位置關係」一般都與某種「數量關係」有著內在的聯絡，常由「位置關係」決定其「數量關係」，反之也可從「數量關係」去確定「位置關係」。上述平行線的判定方法就是根據同位角或內錯角「相等」或同旁內角「互補」這種「數量關係」，判定兩直線「平行」這種「位置關係」。
⑵根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：①如果兩條直線沒有交點（不相交），那麼兩直線平行。②如果兩條直線都平行於第三條直線，那麼這兩條直線平行。
典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正：
1 相交的兩條直線必定平行線。
2 同一平面內不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那麼這兩條直線一定相交。
3 一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行
解答：⑴錯誤，平行線是「在同一平面內不相交的兩條直線」。「在同一平面內」是一項重要條件，不能遺漏。
⑵正確⑶不正確，正確的說法是「過直線外一點」而不是「過一點」。因為如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。
典型例題：如圖，根據下列條件，可以判定哪兩條直線平行，並說明判定的根據是什麼？
解答：⑴由∠2＝∠b可判定
根據 ⑵由∠1＝∠d可判定
根據 ⑶由∠3＋∠f＝180°可判定
根據12.平行線的性質：
性質1：兩直線平行，同位角相等；
性質2：兩直線平行，內錯角相等；
性質3：兩直線平行，同旁內角互補。
幾何符號語言：
13.兩條平行線的距離
如圖，直線ab∥cd，ef⊥ab於e，ef⊥cd於f，
則稱線段ef的長度為兩平行線ab與cd間的距離。
注意：直線ab∥cd，在直線ab上任取一點g，過點g作cd的垂線段gh，則垂線段gh的長度也就是直線ab與cd間的距離。
14.命題：
⑴命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。
⑵命題的組成，每個命題都是題設、結論兩部分組成。題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項。命題常寫成「如果……，那麼……」的形式。
具有這種形式的命題中，用「如果」開始的部分是題設，用「那麼」開始的部分是結論。
有些命題，沒有寫成「如果……，那麼……」的形式，題設和結論不明顯。對於這樣的命題，要經過分析才能找出題設和結論，也可以將它們改寫成「如果……，那麼……」的形式。
注意：命題的題設（條件）部分，有時也可用「已知……」或者「若……」等形式表述；命題的結論部分，有時也可用「求證……」或「則……」等形式表述。
15.平行線的性質與判定
①平行線的性質與判定是互逆的關係
兩直線平行同位角相等；
兩直線平行內錯角相等；
兩直線平行同旁內角互補。
其中，由角的相等或互補（數量關係）的條件，得到兩條直線平行（位置關係）這是平行線的判定；由平行線（位置關係）得到有關角相等或互補（數量關係）的結論是平行線的性質。
典型例題：已知∠1＝∠b，求證：∠2＝∠c證明
4 相交線與平行線
第五章 相交線與平行線 測試題 學號姓名成績 一 選擇題 每小題3分，共30分 1 下面四個圖形中，1與 2是對頂角的圖形 a 1個b 2個c 3個d 4個 2 一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎後，仍在原來的方向上平行前進，那麼兩次拐彎的角度是 a 第一次右拐50 o，第二次左拐130 o b ...
5相交線與平行線知識點總結
第五章 相交線與平行線複習提綱 1 鄰補角與對頂角 兩直線相交所成的四個角中存在兩種不同關係的角，它們的概念及性質如下表 注意點 對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關係的兩個角 如果 與 是對頂角，則一定有反之如果則 與 不一定是對頂角.如果 與 互為鄰補角，則一定有 180 反之如果 180...
相交線平行線
一 選擇 1 如圖1，ab cd，且 bap 60 apc 45 pcd 30 則 a 10b 15c 20d 30 圖1圖2圖3 2 如圖2，且，則的度數是 a.b.c.d.3 如圖3，已知ab cd，則角 之間的關係為 a 1800 b 1800 c 1800 d 3600 4.如果兩個角的一邊...