數學試卷（理工類） 2012.11
（考試時間120分鐘滿分150分）
本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知全集, 集合, , 則()等於（ ）
abcd．
2. 已知數列是各項均為正數的等比數列，若，則等於（ ）
a． bcd．
3.已知平面向量，滿足，，且，則與的夾角為（ ）
abcd．
4.曲線在處的切線方程為（ ）
a． b． c． d．
5.在中，是的中點，，點在上，且滿足，則的值為
abcd．
6.函式的圖象與函式的圖象的交點個數是（ ）
a． b． c． d．
7.函式是定義域為的可導函式，且對任意實數都有成立．若當時，不等式成立，設，，，則，，的大小關係是（ ）
a． b． c． d．
8.已知數列是各項均為正數且公比不等於的等比數列.對於函式，若數列為等差數列，則稱函式為「保比差數列函式」.現有定義在上的如下函式：
則為「保比差數列函式」的所有序號為（ ）
abcd．
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.
9.設集合，b =∣,則
10.設是等差數列的前項和．若，則公差
11.已知角的終邊經過點，則
12. 在中，若，的面積為，則角
13. 已知函式滿足：（），且則用表示），若，則
14.已知函式.當時，不等式恆成立，則實數的取值範圍是
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
設△的內角所對的邊分別為，已知．
（ⅰ）求△的面積；
（ⅱ）求的值．
16.（本小題滿分14分）
設數列的前項和為.已知，，.
（ⅰ）寫出的值，並求數列的通項公式；
（ⅱ）記為數列的前項和，求；
（ⅲ）若數列滿足，，求數列的通項公式.
17.（本小題滿分13分）
函式部分圖象如圖所示．
（ⅰ）求函式的解析式，並寫出其單調遞增區間；
（ⅱ）設函式，求函式在區間
上的最大值和最小值．
18.（本小題滿分13分）
已知函式，.
（ⅰ）當時，求函式在上的最大值；
（ⅱ）如果函式在區間上存在零點，求的取值範圍.
19.（本小題滿分14分）
設函式，．
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）當時，若對任意，不等式成立，求的取值範圍；
（ⅲ）當時，設，，試比較與的大小並說明理由．
20.（本小題滿分13分）
給定乙個項的實數列，任意選取乙個實數，變換將數列變換為數列，再將得到的數列繼續實施這樣的變換，這樣的變換可以連續進行多次，並且每次所選擇的實數可以不相同，第次變換記為，其中為第次變換時選擇的實數.如果通過次變換後，數列中的各項均為，則稱，，…，為 「次歸零變換」.
（ⅰ）對數列：1,3,5,7，給出乙個 「次歸零變換」，其中；
（ⅱ）證明：對任意項數列，都存在「次歸零變換」；
（ⅲ）對於數列，是否存在「次歸零變換」？請說明理由.
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