北京市朝陽區2011-2012學年度高三年級第一學期期中統一考試
數學試卷（文史類） 2011.11
（考試時間120分鐘滿分150分）
本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分
注意事項：
1．答第一部分前，考生務必將自己的姓名、考試科目塗寫在答題卡上.考試結束時，將試題卷和答題卡一併交回.
2．第一部分每小題選出答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號.第二部分不能答在試題卷上，請答在答題卡上.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1.設集合，，則等於（ ）
abcd．
2. 已知向量，滿足|| = 8，|| = 6， ·= ，則與的夾角為（ ）
abcd．
3. 已知函式的圖象如圖所示，則等於
ab．cd．4.已知等差數列的前項和為，且，則等於（ ）
a． b． cd．
5.命題「」的否定是（ ）
ab．cd．
6. 函式的零點所在的大致區間為
abcd．
7. 「」是「對任意的正數，不等式成立」的
a．必要不充分條件b．充分不必要條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
8.設集合，在上定義運算：，其中為被4除的餘數，，則使關係式成立的有序數對的組數為（ ）
abcd．
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.
9.已知則= .
10.已知等比數列各項均為正數,前項和為，若，，則
11. 在中，角所對的邊分別為．若，
則= .
12. 在中，已知，，則=__；若，則=__ _．
13.已知函式若方程有解，則實數的取值範圍是 ．
14.設函式（）的定義域為，其中，且在上的最大值為，最小值為，則在上的最大值與最小值的和為 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15. （本小題滿分13分）
設集合,集合.
（ⅰ）當時，求；
（ⅱ）若,求實數的取值範圍.
16. （本小題滿分13分）
已知向量，，函式.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求在上的最大值和最小值，並求出相應的的值.
17. （本小題滿分13分）
在中，角的對邊分別為,且．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，當取最大值時，求的面積.
18.（本小題滿分13分）
在遞增數列中，表示數列的前項和，，（為常數，），且成等比數列.
（ⅰ）求c的值;
（ⅱ）若，，求.
19.（本小題滿分14分）
設函式，.
（ⅰ）若，關於的不等式恆成立，試求的取值範圍；
（ⅱ）若函式在區間上恰有乙個零點，試求的取值範圍.
20. （本小題滿分14分）
已知函式（且）.
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ） 記函式的圖象為曲線.設點,是曲線上的不同兩點，如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在處的切線平行於直線，則稱函式存在「中值相依切線」.
試問：函式是否存在「中值相依切線」，請說明理由.
北京市朝陽區2011-2012學年度高三年級第一學期期中統一考試
數學試卷（文史類）答案 2011.11
一、選擇題：
二、填空題：
注：若有兩空，則第乙個空3分，第二個空2分.
三、解答題：
（15）（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）當時,不等式化為，則.
又，因此6分
（ⅱ）若,若,則有，
解得8分
若,,此時成立10分
若,,若,則有,
解得12分
綜上,的取值範圍是13分
（16）（本小題滿分13分）
解4分則6分
7分因為，所以9分
則當時，即時，的最大值是11分
當時，即時，的最小值是13分
（17）（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）因為，所以1分
則=+=.…5分
（ⅱ）由已知得7分
又因為， 所以8分
又因為，
所以，當且僅當時，取得最大值11分
此時.所以當取最大值時，的面積為13分
（18）（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）為常數， 所以
則3分又成等比數列，所以，解得或.
由於是遞增數列，捨去,故6分
（ⅱ）由（ⅰ）得，.
所以8分
從而 13分
（19）（本小題滿分14分）
解：（ⅰ） 依題得:，不等式恆成立,則. …2分
設,則即可3分
又，當且僅當時, .
所以的取值範圍是6分
（ⅱ）二次函式的圖象開口向上，對稱軸是直線7分
依題意得：當時，只需滿足即
解得10分
當時滿足題意，時不滿足題意，則11分
當時，只需滿足即解得. …………12分
當時滿足題意，時不滿足題意，則13分
綜上所述, 的取值範圍是14分
（20）（本小題滿分14分）
解：(ⅰ)顯然函式的定義域是1分
由已知得2分
⑴當時, 令,解得; 令,解得.
所以函式在上單調遞增,在上單調遞減3分
⑵當時，
①當時，即時, 令,解得或;
令,解得.
所以，函式在和上單調遞增,在上單調遞減;
4分 ②當時，即時, 顯然，函式在上單調遞增； ………5分
③當時，即時, 令,解得或;
令,解得.
所以，函式在和上單調遞增,在上單調遞減.
6分綜上所述，⑴當時,函式在上單調遞增,在上單調遞減；
⑵當時,函式在和上單調遞增,在上單調遞減；
⑶當時,函式在上單調遞增；
⑷當時,函式在和上單調遞增,在上單調遞減.
7分 (ⅱ)假設函式存在「中值相依切線」.
設,是曲線上的不同兩點，且，
則，.8分曲線在點處的切線斜率
9分 依題意得：.
化簡可得
即11分
設 ()，上式化為：,
即12分
令,.因為,顯然，所以在上遞增,
顯然有恆成立.
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