要求出長方形的面積，就必須要知道它的長與寬嗎？
------談「充分」、「必要」與「充要」條件
朱樂平 大家都知道，長方形面積等於長乘寬，用字母可以表示為s＝ab。筆者在聽課中發現，有一些老師在引導學生經歷、發現這個長方形面積公式之後，提醒學生說：「根據公式s＝ab，大家要注意，如果我們要求出乙個長方形的面積，那麼就必須要知道它的長與寬。
」這樣的表達其實是錯誤的。如果我們能弄清四種命題的關係以及「充分條件」、「必要條件」和「充要條件」的含義，就能找到錯誤的原因。
每個幾何命題從結構上分析，由兩部分組成，即條件部分與結論部分，它表明條件與結論之間的某種因果關係，形式上可以表達為：「如果……（條件），那麼……（結論）」。用a表示條件，b表示結論，就可以寫成：
如果有a，那麼有b。或者。
用「如果……（條件），那麼……（結論）」，這種形式，對長方形的長與寬和面積之間的關係進行表達，可以有以下一些表達方式：
（1）如果已知乙個長方形的長與寬，那麼就可以求出（或確定）這個長方形的面積；
（2）如果已知乙個長方形的面積，那麼就可以求出（或確定）這個長方形的長與寬；
（3）如果不知道乙個長方形的長與寬，那麼就不能求出（或確定）這個長方形的面積；
（4）如果不知道長方形的面積，那麼就不能求出（或確定）這個長方形的長與寬。
在上面表達的這些命題中，有肯定語氣的命題和否定語氣的命題。乙個肯定語氣的命題，以否定語氣敘述時就得到了另乙個命題；再把這兩個命題的條件和結論交換位置又可以得到兩個不同的命題。所以命題有四種形式，即原命題、逆命題、否命題、逆否命題。
上面列舉的四個命題（1）－（4）依次可稱為原命題、逆命題、否命題和逆否命題。
如果不管命題的具體內容，只從它的結構形式來研究，以上四種命題可以簡單表示為：
原命題：如果有a，那麼有b，或。
逆命題：如果有b，那麼有a，或。
否命題：如果沒有a，那麼沒有b，或。
逆否命題：如果沒有b，那麼沒有a，或。
上面的四種命題之間存在著以下的相互關係：
由上面的例子可知：成互逆或互否的兩個命題，不一定同真同假，但互為逆否的兩個命題，真則同真，假則同假。這種真則同真，假則同假的兩個命題叫做等價命題。
因些，原命題與它的逆否命題是等價的，原命題的逆命題與否命題也是等價的。利用命題的等價關係，要證明乙個數學命題時，可以用證明和它等價的命題來代替，這樣數學命題的證明就多了一條思路。
弄清了四種命題及它們的關係後，我們可以進一步研究「充分條件」、「必要條件」和「充要條件」的問題。
乙個命題表示條件與結論之間的某種關係。某一事物的發生與存在，會促使另乙個事物的發生與存在，或某一事物的不發生與不存在，也會促使另一事物的不發生或不存在。事物之間的這種關係，叫做條件關係。
其中有充分條件、必要條件和充要條件等關係。
如果a成立，那麼b成立，即，這時我們說條件a是b成立的充分條件。「充分」的含義是：為使b成立，具備條件a就足夠了。用日常語言表達「充分條件」的含義是「有之必然」。
命題：如果知道乙個長方形的長和寬，那麼就可以求出（或確定）這個長方形的面積。
這個命題的條件和結論分別是：
條件：知道乙個長方形的長與寬；
結論：求出（或確定）這個長方形的面積。
顯然上面的條件是結論成立的充分條件。
如果a不成立，那麼b不成立，這時條件a是b的必要條件。即：。必要條件的特徵是「無之必不然」。
由命題之間的等價關係可知，命題與命題等價。也就是說我們要判斷條件a是否是結論b成立的必要條件時。只要把b作為條件，a變為結論，判斷條件b是不是結論a成立的充分條件即可。
綜上所述，我們可以得出：如果，那麼a是b成立的充分條件。如果，那麼a是b成立的必要條件。
如果既有又有，那麼a既是b成立的充分條件，又是b成立的必要條件。這時我們就說a是b成立的充分而且必要條件，簡稱充要條件。充要條件的特徵是「有之必然，無之必不然」。
有了上面這些邏輯的知識，我們就可以判斷本文開頭時，一些老師在課堂上說的命題的正確性。「如果我們要求出乙個長方形的面積，那麼就必須要知道它的長與寬。」顯然知道長方形的長和寬，並不是求出長方形面積的必要條件。
也就是說，要求出乙個長方形的面積，不是必須要知道它的長與寬。如我們要求出長方形m的面積，而知道長方形n的面積是10平方公尺，長方形m的面積是長方形n面積的2倍。顯然我們就可以求出長方形m的面積是20平方公尺。
而如果知道乙個長方形的長和寬，當然就可以求出這個長方形的面積。就是說條件「知道長方形的長和寬」是結論「求出長方形面積」的充分條件，但並非必要條件。
類似的，筆者在聽課中也曾發現，乙個老師在梯形的面積計算公式s＝（a+b）×h÷2教學中，也說成：「要求出梯形的面積就必須要知道它的上底、下底和高」。在這個老師上完課後，筆者對他所教班級的學生進行測查與訪談，用了以下三個題目：
1、已知乙個梯形的上底是6公尺，下底是9公尺，高是4公尺，求這個梯形的面積。
2、已知乙個梯形的上底與下底的和是15公尺，高是4公尺，求這個梯形的面積。
3、有乙個梯形的菜園，一面靠牆（如圖），其餘三面用籬笆圍成，籬笆總長是19公尺，求這個菜園的面積。
全班正好50個人，測查結果是第1題49人對，一人錯，這個學生在運用梯形面積公式時，忘記除以2，第1題全班的正確率是98%；第2題的做對的學生是9人，正確率是18%；第3題只有2人做出，正確率是4%。我們對做出第1題，但不會做第2題的學生進行訪談，學生的回答基本上都是：「只知道上底與上底的和，不知道上底與下底到底有多少，因此，不能用公式求出這個梯形的面積。
」對做出第2題的9個學生進行訪談，其中有4個學生說了這樣意思：「我開始也不知道怎麼做，不能求出上底與下底到底是多少，但我再看資料與公式，發現知道上底與下底的和，也可以直接用公式。做完以後，我發現知道上底與下底的和更好，不需要再做加法。
」其餘的5個學生能夠根據公式的特點，直接求出面積。從上面的資料和訪談中可見，學生還是受到了「要求出梯形的面積，就必須要知道它的上底、下底和高」這樣的命題的影響。
乙個命題的條件對於結論來說是「充分條件」、「必要條件」還是「充要條件」的問題不但在空間與圖形的教學中會遇到，在其他的領域中，如數與代數的教學中也有這樣的問題。
例如，我們常常要學生用交換加數字置的方法，也就是運用加法交換律來進行驗算。如計算5437＋1738，即用下面的格式：
這時教師常說：如果兩次計算的結果相等，那麼計算就正確。
其實這個命題是乙個假命題，也就是說老師這樣的說法是錯誤的。
事實上，根據加法交換律可以得出：
如果兩次計算都正確，那麼兩次計算的結果相等。
這個命題是正確的。但它的逆命題不正確。即我們不能由條件「如果兩次計算的結果相等」，來推出結論「兩次計算都正確」。
我們設想如果乙個學生總是忘記進製，即遇到進製時他總是不進。這樣他的計算如下：
顯然兩次計算的結果也相等，但結果都是不正確的。由此可見，條件「兩次計算都都正確」是結論「兩次計算結果相等」的充分條件，但並不是必要條件。這種驗算方法並不是一種「可靠」的方法。
在小學數學中，有一些命題的條件對於結論來說是充分而不必要的。也有一些命題的條件對於結論來說是必要而不充分的，如，「乙個三角形的兩邊相等」是「這個三角形是等邊三角形」的必要但不充分條件。還有一些命題的條件對於結論來說是充要條件。
如，「乙個自然數各個數字上數的和是3的倍數」是「這個數是3的倍數」的充要條件。乙個小學數學教師只有明確條件與結論間的各種關係，才能更好地實施數學教學。
1、湖南省教育廳組織編寫：《幾何》人民教育出版社，2023年2月第1版。
2、金成樑編著：《邏輯與小學數學教學》北京師範大學出版社，2023年9月第1版。
長方形的面積
一 填空。1.測量或計算面積時要用 單位。測量或計算長度要用 單位 2.常用的面積單位有 和 3.邊長為1厘公尺的正方形的面積是 邊長 分公尺的正方形的面積是1平方公尺。4.相鄰的兩個長度單位之間的進率是 每相鄰兩個面積單位間的進率是 5.乙個長方形長是5厘公尺，寬是3厘公尺，面積是 周長是 6.邊...
5 3長方形的面積
設計說明 長方形 正方形的面積計算 是在學生認識了面積和面積單位，已經掌握了長方形 正方形的特徵的基礎上進行教學的。長方形和正方形面積計算公式的推導是本節課的重點和難點。根據本節課的教學目標，在教學中，重視直觀教學，注重讓學生動手實踐 自主 與合作交流。通過生動有趣的課件，使抽象的內容具體化，讓學生...
長方形面積的計算
教學內容 義務教育課程標準實驗教科書 西師版 三年級下冊第40 41頁例1 例2，課堂活動第1題，練習七第2題。教學目標 1 經歷長方形面積計算公式的探索過程，培養探索精神和探索能力。2 掌握長方形面積計算公式，能運用公式計算長方形的面積。3 在解決與面積有關的實際問題中，能進行有條理的思考。教學重...