1、理解等差數列的概念，學習等差數列的基本性質.
2、探索並掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.
3、體會等差數列與一次函式的關係.
4、本部分在高考中佔5-10分左右.
一、等差數列的相關概念
1、等差數列的概念
如果乙個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．通常用字母d表示。
2、等差中項
如果，，成等差數列，那麼叫做與的等差中項．即：或
推廣：3、等差數列通項公式
若等差數列的首項是，公差是，則．
推廣：，從而。
4、等差數列的前項和公式
等差數列的前項和的公式： ； ．
5、等差數列的通項公式與前n項的和的關係
( 數列的前n項的和為).
二、等差數列的性質
1、等差數列與函式的關係
當公差時，
(1)等差數列的通項公式是關於的一次函式,斜率為；
(2)前和是關於的二次函式且常數項為0。
2、等差數列的增減性
若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，
若公差，則為常數列。
3、通項的關係
當時,則有，
特別地，當時，則有.
注： 4、常見的等差數列
（1）若、為等差數列，則都為等差數列。
（2）若{}是公差為的等差數列，則，…也成等差數列（公差為）。
（3）數列為等差數列,每隔項取出一項仍為等差數列。
5、前n項和的性質
設數列是等差數列，為公差，是奇數項的和，是偶數項項的和，是前項的和.
①當項數為偶數時，則
②當項數為奇數時，則
（其中是項數為的等差數列的中間項）
6、求的最值（或求中正負分界項）
（1）因等差數列前項是關於的二次函式，故可轉化為求二次函式的最值，但要注意數列的特殊性.
（2）①「首正」的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和
即當，由可得達到最大值時的值.
②「首負」的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和.
即當，由可得達到最小值時的值.
三、等差數列的判定與證明
1、等差數列的判定方法：
（1）定義法：若或(常數)是等差數列；
（2）等差中項：數列是等差數列；
（3）數列是等差數列（其中是常數）；
（4）數列是等差數列,（其中、是常數）.
2、等差數列的證明方法：
定義法：若或(常數)是等差數列．
題型一：性質的應用
例1（1）是等差數列，若，，求
（2）是等差數列，是其前項和，若，求
例2（2010山東）已知等差數列滿足：，，的前項和為.
（ⅰ）求及；
（ⅱ）令（），求數列的前項和為.
題型二：求最值
例3是等差數列，是其前項和，若,求使得最大的的值.
例4是等差數列，，求的最小值.
題型三：證明
例5已知數列，是其前項和，且滿足，，求證：是等差數列.
重要知識點：
1.定義：，為數列的公比
2.等比中項：若成等比數列，那麼a叫做與的等比中項。
提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數的等差中項為a，等比中項為b，則a與b的大小關係為______（答：
a＞b）
3.等比數列的前項和公式：
等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。
4.等比數列的性質：
（1）當時，則有，特別地，當時，則有.
（2）一公比為的等比數列，其和成等比數列，公比為.
(3)若，則為遞增數列；若, 則為遞減數列；若，則為遞減數列；若, 則為遞增數列；若，則為擺動數列；若，則為常數列.
(4) 當時，，這裡，但，這是等比數列前項和公式的乙個特徵，據此很容易根據，判斷數列是否為等比數列。如若是等比數列，且，則＝
（答：－1）
(5)如果數列既成等差數列又成等比數列，那麼數列是非零常數數列.
4.等差數列的判定
①定義法：
②等比中項；(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數列.
ii. （ac＞0）→為a、b、c等比數列的充分不必要.
iii. →為a、b、c等比數列的必要不充分.
iv. 且→為a、b、c等比數列的充要.
注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.
5.一些常用公式
①1+2+3 …+n =
②[注]：熟悉常用通項：9，99，999，…；
5，55，555，….
例1數列中，=4+1 ()且=1，若，求證：數列是等比數列。
例2等比，，設，
（1）證明等差
（2）求的前項和和的通項公式、
等差，等比數列練習
1．（01天津理，2）設sn是數列的前n項和，且sn=n2，則是（ ）
a.等比數列，但不是等差數列b.等差數列，但不是等比數列
c.等差數列，而且也是等比數列d.既非等比數列又非等差數列
2．（06全國i）設是公差為正數的等差數列，若，，則（ ）
abcd．
3.（06全國ii）設sn是等差數列｛an｝的前n項和，若＝，則＝( )
abcd．
4．（02京）若乙個等差數列前3項的和為34，最後3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有（ ）
a.13項b.12項c.11項d.10項
5. 設數列，，若以，，，為係數的二次方程：
，(且)都有根、滿足。
（1）求證：為等比數列；
（2）求；
（3）求的前項和.
等差數列及其前n項和
一 等差數列的有關概念 1 定義 如果乙個數列從起，每一項與它的前一項的差都等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等差數列 符號表示為n n d為常數 2 等差中項 數列a，a，b成等差數列的充要條件是a 其中a叫做a，b的 二 等差數列的有關公式 1 通項公式 an 2 前n項和公式 sn 三 等差數...
高考數學等差數列及其前n項和
一 知識梳理 1 等差數列的定義 如果乙個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示 2 等差數列的通項公式 若等差數列的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an a1 n 1 d.3 等差中項 如果a 那麼a叫做a...
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