第十講三角函式（三）
三角恒等變形
★★★考點1：第一節同角三角函式的基本關係
a組1．已知sinα＝，sin均為銳角，則β等於________．
解析：∵α、β均為銳角，∴－ <α－β<，∴cos(α－β)＝＝.
∵sinα＝，∴cosα＝＝.
∴sinβ＝sinsinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝.
∵0<β<，∴β＝.答案：
2．已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，則cosβ的值為________．
解析：∵0<α<， <β<π，∴ <α＋β<π.∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，
∴cosβ＝coscos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin答案：－
3．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的兩根，則
解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，則＝
＝＝＝－.答案：－
4．(2023年高考山東卷改編)已知cos(α－)＋sinα＝，則sin(α＋)的值是___．
解析：由已知得cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，
得sin(α＋)＝，sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－.答案：－
5．(原創題)定義運算a b＝a2－ab－b2，則sin cos
解析：sin cos＝sin2－sincos－cos2＝－(cos2－sin2)－×2sincos＝－cos－sin＝－.答案：－
6．已知α∈(，π)，且sin＋cos＝.
(1)求cosα的值；(2)若sin求cosβ的值．
解：(1)因為sin＋cos＝，兩邊同時平方得sinα＝.
又<α<π.所以cosα＝－.
(2)因為<α<π， <β<π，所以－π<－β<－，故－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cosβ＝coscosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
b組1.·的值為________．
解析：·＝·
＝·＝·＝1.
2．已知cos(＋x)＝，則的值為________．
解析：∵cos(＋x)＝，∴cosx－sinx＝，
∴1－sin2x＝，sin2x＝，∴＝＝sin2x＝.
3．已知cos(α＋)＝sin(α－)，則tan
解析：cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝cosα－sinα，sin(α－)
＝sinαcos－cosαsin＝sinα－cosα，
由已知得：(＋)sinα＝(＋)cosα，tanα＝1.
4．設α∈(，)，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(＋β)＝，則sin
解析0，)，又cos(α－)＝，∴sin(α－)＝.
∵β∈(0sin(＋β)＝，∴cos(＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos(α－)·cos(＋β)＋sin(α－)·sin
即sin(α＋β)＝.
5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，則cos(α－β)的值等於________．
解析：∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin
6．已知角α在第一象限，且cosα＝，則
解析：∵α在第一象限，且cosα＝，∴sinα＝，則＝＝＝2(sinα＋cosα)＝2(＋)＝.
7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若a·b＝，則tan(α＋)的值為________．
解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝，又α∈(，π)，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝.
8.的值為______．
解析：由tan(70°－10°)＝＝，
故tan70°－tan10°＝(1＋tan70°tan10°)，代入所求代數式得：
＝＝＝.
9．已知角α的終邊經過點a(－1，)，則的值等於________．
解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－，∴＝＝－.
10．求值：·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°.
解：原式＝＋－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝＝2.
11．已知向量m＝(2cos，1)，n＝(sin，1)(x∈r)，設函式f(x)＝m·n－1.
(1)求函式f(x)的值域；(2)已知銳角△abc的三個內角分別為a，b，c，若f(a)＝，f(b)＝，求f(c)的值．
解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cos，1)·(sin，1)－1＝2cossin＋1－1＝sinx.
∵x∈r，∴函式f(x)的值域為[－1,1]．
(2)∵f(a)＝，f(b)＝，∴sina＝，sinb＝.
∵a，b都為銳角，∴cosa＝＝，cosb＝＝.
∴f(c)＝sinc＝sin[π－(a＋b)]＝sin(a＋b)＝sinacosb＋cosasinb
＝×＋×＝.∴f(c)的值為.
12．(2023年南京調研)已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋)的值．
解：(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，
∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.
法二：sin2β＝cos(－2β)＝2cos2(β－)－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，∴ <β－<， <α＋β<，∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos(α＋)＝coscos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝－×＋×＝.
★★★考點2：第二節兩角和與差及二倍角的三角函式
a組1．若sin則cos
解析：由於α∈(－，)，sinα＝得cosα＝，由兩角和與差的余弦公式得：cos(α＋)＝－(cosα－sinα)＝－.
2．已知π<θ<π，則
解析：∵π<θ<，∴ <<， <<.
＝ ＝＝sin.
3．(2023年南京市調研)計算
解析：＝＝＝.
4．(2023年高考上海卷)函式y＝2cos2x＋sin2x的最小值是
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1
＝sin(2x＋)＋1≥1－.
5．(原創題)函式f(x)＝(sin2x＋)(cos2x＋)的最小值是________．
解析：f(x)＝
＝＝sin2xcos2x＋－≥(－1)．
6．已知角α∈(，)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.
(1)求tan(α＋)的值；(2)求cos(－2α)的值．
解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，
又α∈(，)，∴tanα＝，sinα＝，cosα＝，
(1)tan(α＋)＝＝＝－7.
(2)cos2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝2sinαcosα＝，
cos(－2α)＝coscos2α＋sinsin2
b組1．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，則tan
解析：tan(α＋)＝tan
2．(2023年高考陝西卷改編)若3sinα＋cosα＝0，則的值為________．
解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，則＝＝＝.
3．設a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，則a、b、c的大小關係是
解析：a＝sin59°，c＝sin60°，b＝sin61°，∴a或a2＝1＋sin28°<1＋＝，b2＝1＋sin32°>1＋＝，c2＝，∴a4.＋2的化簡結果是________．
解析：原式＝＋2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.
5．若tan則sin(2α＋)的值為
解析：由題意知，tanα＝3，sin(2α＋)＝(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝＝，cos2α＝＝－.∴sin(2
6．若函式f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈r)，則f(x)的最小正週期為________．
解析：f(x)＝sin2x(1－2sin2x)＝sin2xcos2x＝sin4x，所以t＝＝.
7．(2023年無錫質檢)的值為________．
解析：由已知得：原式＝＝＝.
8．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b
解析：|a－2b|2＝(cos10°－2cos70°)2＋(sin10°－2sin70°)2＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a－2b|＝.
9．(2023年江蘇省南通市調研)已知＝1，tan(β－α)＝－，則tan(β－2
解析：因為＝1，即1－＝×，所以2tanα＝1，即tanα＝，所以tan(β－2α)＝tan1.
10．已知tanα＝2.求(1)tan(α＋)的值；(2)的值．
解：(1)∵tan(α＋)＝，tanα＝2，∴tan(α＋)＝＝－3.
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