賈島 2023年11月摘錄
知識點：
（一）有關概念：
約束條件：由x、y的不等式所組成的不等式組稱為x、y的約束條件。
線性約束條件：關於x、y的一次不等式所組成的不等式組稱為x、y的線性約束條件。
目標函式：欲達到最大值或最小值所涉及的變數x、y的解析式稱為目標函式。
線性目標函式：關於x、y的一次目標函式稱為線性目標函式。
線性規劃問題：求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值問題稱為線性規劃問題。
可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)稱為可行解。
可行域：所有可行解所組成的集合稱為可行域。
最優解：使目標函式取得最大值或最小值的可行解稱為最優解。
（二）解線性規劃問題的步驟：
(1)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；（直線定界，定點定域）
作出過原點的目標函式的輔助線 (注意比較斜率大小，主要是看陡坡)
(2)移：**性目標函式所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；
(3)求：通過解方程組求出最優解；
(4)答：作出答案。
例題講解：
線性規劃問題是解析幾何的重點，每年高考必有一道小題。
一、已知線性約束條件，探求線性目標關係最值問題
例1、設變數x、y滿足約束條件，則的最大值為 。
解析：如圖1，畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點a(3,4)處，目標函式z最大值為18
點評：本題主要考查線性規劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然後求出目標函式的最大值.，是一道較為簡單的送分題。數形結合是數學思想的重要手段之一。
練習：1.若、滿足條件求的最大值和最小值．
二、已知線性約束條件，探求非線性目標關係最值問題
例2、已知則的最小值是 .
解析：如圖2，只要畫出滿足約束條件的可行域，而表示可行域內一點到原點的距離的平方。由圖易知a（1，2）是滿足條件的最優解。的最小值是為5。
點評：本題屬非線性規劃最優解問題。求解關鍵是在挖掘目標關係幾何意義的前提下，作出可行域，尋求最優解。
練習：1．若實數x、y滿足則的取值範圍是
a．(0,1b．(0,1]
c．(1d．[1，＋∞)
2.設，式中的變數、滿足試求的最大值、最小值．
(1)求(x+2)2+(y-8)2最小值
(2)求y/x的最大值；
(3)求2x+y的最大值
(4)若ax+y在點（8，6）處取得最大值;求a的取值範圍；
(5)若有無數個點使得ax+y為最大值，求a的值.
4.已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值範圍。
三、約束條件設計引數形式，考查目標函式最值範圍問題。
例3、在約束條件下，當時，目標函式的最大值的變化範圍是（）
a. b. c. d.
解析：畫出可行域如圖3所示,當時, 目標函式在處取得最大值, 即;當時, 目標函式在點處取得最大值,即,故,從而選d;
點評：本題設計有新意，作出可行域，尋求最優解條件，然後轉化為目標函式z關於s的函式關係是求解的關鍵。
1. 已知|2x－y＋m|＜3表示的平面區域包含點（0,0）和（－1,1），則m的取值範圍是 （ ）
a、（-3,6） b、（0,6） c、（0,3） d、（-3,3）
四、已知平面區域，逆向考查約束條件。
例4：用不等式表示以，，為頂點的三角形內部的平面區域．
五、已知最優解成立條件，探求目標函式引數範圍問題。
例5已知變數，滿足約束條件。若目標函式（其中）僅在點處取得最大值，則的取值範圍為
解析：如圖5作出可行域，由其表示為斜率為，縱截距為ｚ的平行直線系, 要使目標函式（其中）僅在點處取得最大值。則直線過ａ點且在直線（不含界線）之間。即則的取值範圍為。
點評：本題通過作出可行域，在挖掘的幾何意義的條件下，借助用數形結合利用各直線間的斜率變化關係，建立滿足題設條件的的不等式組即可求解。求解本題需要較強的基本功，同時對幾何動態問題的能力要求較高。
1.已知x、y滿足以下約束條件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優解有無數個，則a的值為 （ ）
a、－3 b、3 c、－1 d、1
六、設計線性規劃，探求平面區域的面積問題
例６在平面直角座標系中，不等式組表示的平面區域的面積是（）
(a) (b)4 (c) (d)2
解析：如圖６，作出可行域，易知不等式組表示的平面區域是乙個三角形。容易求三角形的三個頂點座標為ａ（０，２），b(2,0),c(-2,0).於是三角形的面積為：從而選ｂ。
點評：有關平面區域的面積問題，首先作出可行域，探求平面區域圖形的性質；其次利用面積公式整體或部分求解是關鍵。
備選例題：
1. 求不等式組所表示的平面區域的面積．
2. (2009·安徽高考)若不等式組所表示的平面區域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是abcd.
3. 若a為不等式組表示的平面區域，則當a從－2連續變化到1時，動直線x＋y＝a掃過a中的那部分區域的面積為
七、研究線性規劃中的整點最優解問題
例7、某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則的最大值是(a)80 (b) 85 (c) 90 (d)95
解析：如圖７，作出可行域，由，它表示為斜率為，縱截距為的平行直線系,要使最得最大值。當直線通過取得最大值。
因為，故ａ點不是最優整數解。於是考慮可行域內ａ點附近整點經檢驗直線經過ｂ點時，
點評：在解決簡單線性規劃中的最優整數解時，可在去掉限制條件求得的最優解的基礎上，調整優解法，通過分類討論獲得最優整數解。
備選例題：
1.設式中的變數、滿足下列條件求的最大值．
2. 有一批鋼管，長度都是4000，要截成500和600兩種毛坯，且這兩種毛坯數量比大於配套，怎樣截最合理？
八、應用題舉例
1. 某工廠利用兩種燃料生產三種不同的產品、、，每消耗一噸燃料與產品、、有下列關係：
現知每噸燃料甲與燃料乙的**之比為，現需要三種產品、、各50噸、63噸、65噸．問如何使用兩種燃料，才能使該廠成本最低？
2.某糖果廠生產、兩種糖果，種糖果每箱獲利潤40元，種糖果每箱獲利潤50元，其生產過程分為混合、烹調、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產過程中所需平均時間（單位：分鐘）
每種糖果的生產過程中，混合的裝置至多能用12機器小時，烹調的裝置至多只能用機器30機器小時，包裝的裝置只能用機器15機器小時，試用每種糖果各生產多少箱可獲得最大利潤．
3.設，，；，，，用圖表示出點的範圍．
4. 咖啡館配製兩種飲料，甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙種飲料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克．如果甲種飲料每杯能獲利0.7元，乙種飲料每杯能獲利1.
2元，每天在原料的使用限額內飲料能全部售出，每天應配製兩種飲料各多少杯能獲利最大？
簡單的線性規劃教案
當x,y滿足不等式 1 並且為非負整數時，z的最大值是多少？把z 2x 3y變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為的直線。當z變化時，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由於這些直線的斜率是確定的，因此只要給定乙個點，例如 1，2 就能確定一條直線 這說明，截距可以由平面內的乙個點的座標唯一確定。可以看...
簡單的線性規劃教案一
教學目標 1 知識與技能 使學生了解二元一次不等式表示平面區域 了解線性規劃的意義以及約束條件 目標函式 可行解 可行域 最優解等基本概念 了解線性規劃問題的 法，並能應用它解決一些簡單的實際問題 2 過程與方法 經歷從實際情境中抽象出簡單的線性規劃問題的過程，提高數學建模能力 3 情態與價值 培養...
簡單的線性規劃問題 教案
三維目標 知識與能力 了解線性規劃的常用術語 掌握確定二元一次不等式所表示的平面區域得方法 過程與方法 通過例項介紹線性規劃的常用術語，利用二元一次方程將平面分成兩部分進而確定二元一次不等式所能表示的平面區域 情感態度與價值觀 通過學習，激發學生探索慾望 熱愛數學學習的激情，引導正確的價值觀 人生觀...