2. 點p(x0,y0)在直線ax+by+c=0上方（左上或右上），則當b>0時，ax0+by0+c>0;當b<0時，ax0+by0+c<0
3. 點p(x0,y0)在直線ax+by+c=0下方（左下或右下），當b>0時，ax0+by0+c<0;當b<0時，ax0+by0+c>0
注意：（1）在直線ax+by+c=0同一側的所有點，把它的座標(x,y)代入ax+by+c,所得實數的符號都相同,
（2）在直線ax+by+c=0的兩側的兩點，把它的座標代入ax+by+c,所得到實數的符號相反,
即：1.點p(x1,y1)和點q(x2,y2)在直線 ax+by+c=0的同側，則有（ax1+by1+c）( ax2+by2+c)>0
2.點p(x1,y1)和點q(x2,y2)在直線 ax+by+c=0的兩側，則有（ax1+by1+c）( ax2+by2+c)<0
二.二元一次不等式表示平面區域:
①二元一次不等式ax+by+c>0（或<0）在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域. 不包括邊界;
②二元一次不等式ax+by+c≥0（或≤0）在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域且包括邊界;
注意：作圖時,不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線.
三、判斷二元一次不等式表示哪一側平面區域的方法:
方法一:取特殊點檢驗; 「直線定界、特殊點定域
原因:由於對在直線ax+by+c=0的同一側的所有點(x,y),把它的座標(x,y)代入ax+by+c,所得到的實數的符號都相同,所以只需在此直線的某一側取乙個特殊點(x0,y0),從ax0+by0+c的正負即可判斷ax+by+c>0表示直線哪一側的平面區域.特殊地, 當c≠0時，常把原點作為特殊點，當c=0時，可用（0，1）或（1，0）當特殊點，若點座標代入適合不等式則此點所在的區域為需畫的區域，否則是另一側區域為需畫區域。
方法二：利用規律：
>0,當b>0時表示直線ax+by+c=0上方（左上或右上），
當b<0時表示直線ax+by+c=0下方（左下或右下）;
<0,當b>0時表示直線ax+by+c=0下方（左下或右下）
當b<0時表示直線ax+by+c=0上方（左上或右上）。
四、線性規劃的有關概念：
①線性約束條件線性目標函式：
③線性規劃問題可行解、可行域和最優解：
典型例題一--------畫區域
1. 用不等式表示以，，為頂點的三角形內部的平面區域．
分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出，然後結合圖形考慮三角形內部區域應怎樣表示。
解：直線的斜率為：，其方程為．
可求得直線的方程為．直線的方程為．
的內部在不等式所表示平面區域內，同時在不等式所表示的平面區域內，同時又在不等式所表示的平面區域內（如圖）．
所以已知三角形內部的平面區域可由不等式組表示．
說明：用不等式組可以用來平面內的一定區域，注意三角形區域內部不包括邊界線．
2 畫出表示的區域，並求所有的正整數解．
解：原不等式等價於而求正整數解則意味著，還有限制條件，即求．
依照二元一次不等式表示的平面區域，
知表示的區域如下圖：
對於的正整數解，容易求
得，在其區域內的整數解為
、、、、．
3設，，；，，，用圖表示出點的範圍．
分析：題目中的，與，，是線性關係．
可借助於，，的範圍確定的範圍．
解：由得
由，，得畫出不等式組所示平面區域如圖所示．
說明：題目的條件隱蔽，應考慮到已有的，，的取值範圍．借助於三元一次方程組分別求出，，，從而求出，所滿足的不等式組找出的範圍．
4、已知x,y,a,b滿足條件：,2x+y+a=6,x+2y+b=6
（1）試畫出（）的存在的範圍； （2）求的最大值。
典型例題二------畫區域，求面積
例3 求不等式組所表示的平面區域的面積．
分析：關鍵是能夠將不等式組所表示的平面區域作出來，判斷其形狀進而求出其面積．而要將平面區域作出來的關鍵又是能夠對不等式組中的兩個不等式進行化簡和變形，如何變形？需對絕對值加以討論．
解：不等式可化為或；
不等式可化為或．
在平面直角座標系內作出四條射線：
， ，則不等式組所表示的平面區域如圖，由於與、與互相垂直，所以平面區域是乙個矩形．
根據兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長度分別為和．所以其面積為．
典型例題三------求最值
一、與直線的截距有關的最值問題
1.如圖1所示，已知中的三頂點，
點在內部及邊界運動，請你**並討論以下問題：
①在點a 處有最大值 6 ，在邊界bc處有最小值 1 ；
②在點c 處有最大值 1 ，在點b 處有最小值
2若、滿足條件求的最大值和最小值．
分析：畫出可行域，平移直線找最優解．
解：作出約束條件所表示的平面區域，即可行域，如圖所示．
作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當它在可行域內滑動時，由圖可知，直線過點a時，取得最大值，當過點時，取得最小值．
注：可化為表示與直線平行的一組平行線，其中為截距，特別注意：斜率範圍及截距符號。即注意平移直線的傾斜度和平移方向。
變式：設x,y滿足約束條件
分別求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。
二、與直線的斜率有關的最值問題
表示定點p（x0,y0)與可行域內的動點m(x,y)連線的斜率.
例2 設實數滿足，則的最大值是
解析：畫出不等式組所確定的三角形區域abc，表示兩點確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內的點與原點連線的斜率的最大值．
可以看出直線op的斜率最大，故p為與的交點，
即a點．∴．故答案為．
3.如圖1所示，已知中的三頂點，
點在內部及邊界運動，請你**並討論以下問題：
若目標函式是或，你知道其幾何意義嗎？你能否借助其幾何意義求得和？
三、與距離有關的最值問題
（配方）的結構表示定點q （x0,y0)到可行域內的動點n(x,y)的距離的平方或距離。
1.已知，．求的最大、最小值．
分析：令，目標函式是非線性的．而可看做區域內的點到原點距離的平方．問題轉化為點到直線的距離問題．
解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和． 所以的最大、最小值分別是50和．
2.已知求的最小值
解析：作出可行域如圖3，並求出頂點的座標a（1，3）、b（3，1）、c（7，9）．而表示可行域內任一點（x，y）到定點m（0，5）的距離的平方，過m作直線ac的垂線，易知垂足ｎ**段上，故z的最小值是．
練習：1..給出平面區域如右圖所示，若使目標函式z=ax+y (a > 0 )取得最大值的最優解有無窮多個，則a的值為（b ）
a. b. c.4d.
2、在座標平面上，不等式組所表示的平面區域的面積為
3.三角形三邊所在直線分別為x-y+5=0，x+y=0，x-3=0，求表示三角形內部區域的不等式組.
4.．已知，求的最大值為
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