十五章中學數學思想方法
一、數學思想方法概述
1、數學思想方法
數學思想：是人們對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上公升的數學觀點，它在認識活動中被反覆運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。
數學方法：是在數學思想指導下，為數學思維活動提供具體實施手段，是數學地提出問題、解決問題過程中所採用的各種具體方式、手段和途徑等。
2、學習與掌握數學思想方法的意義：只有注重思想方法的滲透，才能使學生真正深入透徹地理解與掌握數學知識。數學思想方法的學習能促進學生在數學學習過程中，對合理方法的天才的、不自覺的運用向有意識的、自覺的運用轉化。
通過數學思維方法的學習與**，能有效地指導我們的數學學習，有助於我們提高數學的文化素養。
3、如何學習與掌握數學思想方法：1、數學化的過程就是乙個運用數學思維方法的過程2、應當重視具體的數學解題的實踐，把數學解題的研究與數學思想方法的學習結合起來，在問題解決過程中運用、體會具體的數學方法，領悟其中的思想方法3、應當明確我們學習和研究的目標範圍4、應當結合中學數學教學來學習與研究數學思想方法。
二、中學數學中的數學思想方法
1、化歸：就是把待解決的問題通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決或者比較容易解決的問題中去，藉此來獲得原問題的解決的一種思想方法。
化歸的要素有：化歸的物件、化歸的目標和化歸的途徑。
化歸的方法有：特殊化、一般化、分解與組合、關係對映反演原則和歸納、模擬、聯想等。
化歸的本質：轉化矛盾，變更問題。
化歸原則：1、熟悉化原則2、簡單化原則3、直觀化原則4、和諧化原則。
中學數學中常用的化歸方法：1特殊化法2一般化法3分解法4擴充法。
2、模擬：就是根據兩種事物在某些特徵上的相似，作出他們在其他特徵也可能相似的結論的一種推理。
模擬推理是一種或然性的推理，其結論是否正確還有待證明。
模擬的意義：1、模擬是提出新問題和得到新發現的乙個重要源泉2、模擬在求解問題中有廣泛的應用3、模擬不僅可以被用於發現，而且也可以用來驗證猜測的正確性。
模擬在中學數學教學中的應用：1個別到一般的推廣2某種特性的推廣使用3低維到高維的模擬4方法上模擬。
歸納：是從個別事實中概括出一般原理的科學方法，即是由特殊到一般的推理方法。
歸納法一般分完全歸納法與不完全歸納法。完全歸納法也稱列舉法或窮舉法，即根據情況逐一討論，然後綜合得出一般性的結論。不完全歸納法是從個別事實中看到真理的端倪，受到啟發，從而提出假設和猜想。
不完全歸納是一種或然性推理，由不完全歸納得到的結論不一定正確，但與模擬一樣，是發現新命題的有效途徑。
如何運用不完全歸納法的典型步驟：首先，我們注意到了某些相似性；然後，是乙個推廣的步驟，即把所說的相似性推廣為乙個明確表述的一般命題；最後，我們又應對所得的一般命題進行檢驗，即應進一步考察其他的特例。
就歸納在數學中的實際應用而言，波利亞提出了以下思想：1、模擬是歸納的基礎2、特殊化與一般化構成了整個歸納過程的基礎3、如果一系列問題是密切相關的，把這些問題聯絡起來加以考察有時要比單獨去解決其中乙個孤立的問題容易些。
3、方程的思想方法、
方程思想的形成：大體來自於兩條思路，其一是算術式的方程；其二是幾何式的方程。
從方程思想的發展來看，方程論的主要問題有兩個，一是方程的解的存在問題；二是求方程的解的問題。
學生形成方程思想可以從以下步驟去引導：1、讓他們學會代數設想2、引導他們學會代數「翻譯」3、掌握解方程的思想。
方程思想的運用：根據題設特徵，將所要處理的問題中的某些量看作某個方程的根來處理，是方程思想的具體體現；由已知條件聯想相關的方程，從而構造方程來處理問題，則是方程思想的又一體現。
4、函式的思想方法
函式思想的形成與發展：2023年，萊布尼茲首先使用了「function」一詞，我國清代數學家李善蘭後來把他譯為「函式」。在17世紀，數學家、物理學家們的函式思想還處於萌芽狀態時期，他們一般用幾何方法研究函式，把函式看成做曲線。
從18世紀開始，數學家們的函式思想逐步脫離幾何的束縛，他們常常將函式看作是解析表示式，從分析的角度來研究函式。2023年，德國數學家狄利克雷給出了至今還常用的函式的定義。
函式思想的特徵：1、量與量之間的關係是運動變化中的關係，乙個量的變化依賴於另乙個量的變化2、對應是函式思想的本質特徵3、自變數的變化處於主導地位。
函式思想的運用，著重於運動變化的觀念與對應對映的思想。
5、數形結合的思想方法：①重視「形」的代數表示；②重視「數或式」的幾何解釋。
6、演算法化思想
把演算法化作為基礎內容列入必修課，這是計算機和數學發展的結果。
演算法：是指在解決問題時按照某種機械程式步驟一定可以得到結果的處理過程。
演算法含有兩大因素：一是操作；二是控制結構。乙個演算法通常由三種基本結構組成：順序結構、選擇結構和迴圈結構。
演算法表示的原則：通用性、確定性、有限性、標準化和結構化。
三、數學教學與數學思想方法
1、概念教學與數學思想方法：1、把概念的生成過程問題化，通過「問」使學生體悟其中的思想方法2、引導學生學習數學化，在數學化過程中體悟其中的思想方法。
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