（第三期）
第5章水文統計方法
10．學習水文統計方法要注意什麼？
水文統計方法部分內容這部分內容十分重要。因為水文統計的一些基本概念、基本方法，比如隨機事件、隨機變數、概率、統計規律、頻率曲線、適線法、相關分析等，不但在水資源管理這門課程中要經常用到，而且是水利工程專業人員應當掌握的最基本的知識。
水文統計方法這部分內容又比較抽象，而且在認識具有隨機性的事物時，要求在思維方法上有所轉變，更增加了學習的難度。這就使得水文統計方法成為既是重點又是難點的內容。
在學習水文統計方法時，一方面要充分重視，注意多下一些功夫，另一方面仍要著重理解和掌握基本概念、基本理論、基本方法，並注意掌握一些最實用的內容。
11．什麼是隨機事件和概率
（1）隨機事件
在客觀世界中，不斷地出現和發生一些事物和現象。這些事物和現象可以統稱為事件。時間的發生有一定的條件。
經分析，就因果關係來看，有一類事件是在一定的條件下必然發生的（如水到0度會結冰，一年會有四個季節）。這種在一定的條件下必然發生的事件稱為必然事件。
必然事件或不可能事件雖然不同，但又具有共性，即在因果關係上都具有確定性。
除了必然事件和不可能事件以外，在客觀世界中還有另外一類事件，這類事件發生的條件和事件的發生與否之間沒有確定的因果關係。這種發生的條件和發生與否之間沒有確定的因果關係的事件稱為隨機事件。
在長期的實踐中人們發現，雖然對隨機事件作一兩次或少數幾次觀察，隨機事件的發生與否沒有什麼規律，但如果進行大量的觀察或試驗，又可以發現隨機事件具有一定的規律性。
比如一枚硬幣，投擲一次或幾次的時候看不出什麼規律，但是在同樣的條件下反覆多次進行試驗，把硬幣投擲成千上萬次，就會發現硬幣落地時正面朝上和反面朝上的次數大致是相等的。
再比如，一條河流的某乙個斷面的年徑流量在各個年份是不相同的，但進行長期觀測，如觀測30年、50年、80年，就會發現年徑流量的多年平均值是乙個穩定數值。
隨機事件所具有的這種規律稱為統計規律。
隨機事件也可以是具有數量性質的，比如射手打靶的環數，建築結構試件破壞的強度，某條河流發生洪水的洪峰流量等等。
（2）概率
在數學中有兩個分支，即概率論和數理統計。研究隨機事件統計規律的學科稱為概率論。由隨機現象的一部分實測資料研究和推求隨機事件全體的規律的學科稱為數理統計。
概率是表示統計規律的方式。用概率可以表示和度量在一定條件下隨機事件出現或發生的可能性。
式中 p（a）——隨機事件a的概率；
n ——進行試驗可能發生結果的總數；
m ——進行試驗中可能發生事件a的結果數。
例如，擲骰子（俗稱「擲色子」）的情況就符合以上公式的條件。因擲骰子可能發生的結果是有限的（1到6點），試驗可能發生結果的總數是6；同時骰子是乙個均勻的6麵體，擲骰子擲成1點到6點的可能性都是相同的，又是相互排斥的（一次擲乙個骰子不可能同時出現兩個點）。
如果定義z為隨即事件「擲骰子的點數大於2」，則符合z的結果為3、4、5、6點4種情況，即事件z可能發生的結果數是4。按照上述公式，z的概率
像這種比較簡單的，等可能性、相互排斥的情況，是概率論初期的主要研究物件。故按上面公式確定的事件概率稱為古典概率。
在客觀世界裡中，隨機事件並不都是等可能性的。如射手打靶打中的環數是隨機事件，但打中0環到10環各環的可能性並不相同，優秀的射手打中9環、10環的可能性大，而新手打中1環、2環的可能性就較大。
一條河流出現大洪水的可能性和一般洪水的可能性顯然也是不同的。
為了表示不是等可能性情況的統計規律，概率論中隊概率給出了更一般的定義 。
在同樣條件下進行試驗，將事件a出現的次數μ 稱為頻數，將頻數μ與試驗次數n的比值稱為頻率，記為p（a），則
大量的實踐證明，當著試驗的次數充分大的時候，隨機事件的頻率會趨於穩定。
概率的統計定義如下：在一組不變的條件下，重複作n次試驗，記μ是事件a發生的次數，當試驗次數很大時，如果頻率μ/n穩定地在某一數值p的附近擺動，而且一般說來隨著試驗次數的增多，這種擺動的幅度愈變愈小，則稱a為隨機事件，並稱數值p為隨機事件a的概率，記作
p（a）= p
（以上可簡單地說成，頻率具有穩定性的事件叫做隨機事件，頻率的穩定值叫作隨機事件的概率）。
概率的統計定義它既適用於事件出現機會相等的情況，又適用於事件出現機會不相等的一般情況。
12．什麼是隨機變數，怎樣表示隨機變數的概率分布？
隨機變數的數學定義為：在一組不變的條件下，試驗的每乙個可能結果都唯一對應到乙個實數值，則稱實數變數為隨機變數（「唯一對應」又稱「一一對應」，是指每乙個試驗結果，就只對應乙個資料，而每乙個資料，又只對應乙個試驗結果）。
隨機變數常用大寫字母來表示，如隨機變數x（注意這裡大寫的x是變數，x的取值可以是x1、x2、……xn，即x表示隨機取值的系列x1、x2、……xn）。
隨機變數可以分為兩類：
（1）離散型隨機變數
如果隨機變數是可數的，即隨機變數的取值是和自然數一一對應的，就稱為離散型隨機變數。離散型隨機變數不能在兩個相鄰隨機變數取值之間取值。
離散型隨機變數可以是有限的，也可以是無限的，但必須是可數的。
（2）連續型隨機變數
如果隨機變數的取值是不可數的，也就是在有限區間裡面，隨機變數可以取任何值，就稱為連續型隨機變數。
比如，某乙個長途汽車站，每隔30分鐘有一班車發往某地。對於一位不知道長途汽車時刻表的旅客，來車站等車到出發的時間是乙個隨機變數，這個隨機變數取值可以是從0到30分鐘區間的任意值，所以是乙個連續型隨機變數。
連續型隨機變數是普遍存在的。水文變數，如降雨量、降雨時間、蒸發量、河流的流量、水量、水位等等，都是連續型隨機變數。
對於隨機變數，僅僅知道它的可能取值是不夠的，更為重要的是了解各種取值出現的可能性有多大，也就是明確隨機變數各種取值的概率，掌握它的統計規律。
隨機變數取值與其概率的對應關係稱為隨機變數的概率分布。
對於離散型隨機變數，可以用列舉的方式表示它的概率分布。列舉的方法可以是列表，畫圖等。我們的文字教材中舉了例子。
對於連續型隨機變數，因為它是不可數的，不能一一枚舉，所以也就也不能用列舉的方法表示概率分布。
比如前面提到的乘客在長途汽車站等車的例子，等車時間可以是0到30分鐘區間裡的任何時間，故無法列舉所有的隨機變數及其相應概率。實際上，等車時間在0到30分鐘的任何時間的可能性是相等的，對於這個區間的任意時間，其概率等於無窮大分之一，即近似等於0。
從這個例子可以看出，列舉連續型隨機變數各個值的概率不僅做不到，而且實際上是沒有意義的。
為此，我們轉而研究和分析連續性隨機變數在某乙個區間取值的概率。在工程水文裡面，就是研究某一水文變數大於或等於某一數值的概率。
對於乙個隨機變數，大於或等於不同數值的概率是不同的。當隨機變數取為不同數值時，隨機變數大於等於此值的概率也隨之而變，即概率是隨機變數取值的函式。這一函式稱之為隨機變數的概率分布函式。
分布函式的公式為
f（x）= p（x≥x
式中 x —— 隨機變數；
x —— 隨機變數x的取值；
p（x≥x）—— 隨機變數x取值大於或等於x的概率；
f（x）—— 隨機變數x的分布函式。
隨機變數的分布函式可用曲線的形式表示。在工程水文裡面，又習慣於將水文變數取值大於或等於某一數值的概率稱為該變數的頻率，同時將表示水文變數分布函式的曲線稱為頻率曲線。
分布函式、水文變數的頻率，以及頻率曲線這些概念均十分重要，需注意理解和掌握。
對於連續性隨機變數，還有另一種表示概率分布的形式——概率密度函式。
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