15．5因式分解的複習
新課指南
1.知識與技能：掌握運用提公因式法、公式法、分組分解法分解因式，及形如x2+(p+q)x+pq的多項式因式分解，培養學生應用因式分解解決問題的能力.
2.過程與方法：經歷探索因式分解方法的過程，培養學生研討問題的方法，通過猜測、推理、驗證、歸納等步驟，得出因式分解的方法.
3.情感態度與價值觀：通過因式分解的學習，使學生體會數學美，體會成功的自信和團結合作精神，並體會整體數學思想和轉化的數學思想.
4.重點與難點：重點是用提公因式法和公式法分解因式.難點是分組分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多項式的因式分解.
教材解讀精華要義
數學與生活
630能被哪些數整除？說說你是怎麼想的.
思考討論在小學我們知道，要想解決這個問題，需要把630分解成質數的乘積的形式，即630=2×32×5×7.
類似地，在整式的變形中，有時需要將乙個多項式寫成幾個整式的乘積的形式，這種變形就是因式分解.那麼如何進行因式分解呢？
知識詳解
知識點1 因式分解的定義
把乙個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
【說明】 (1)因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆的運算.
例如：(2)因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗.
知識點2 提公因式法
多項式ma+mb+mc中的各項都有乙個公共的因式m，我們把因式m叫做這個多項式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中乙個因式是各項的公因式m，另乙個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).
**交流
下列變形是否是因式分解？為什麼，
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
點撥 (1)不是因式分解，提公因式錯誤，可以用整式乘法檢驗其真偽.
(2)不是因式分解，不滿足因式分解的含義
(3)不是因式分解，因為因式分解是恒等變形而本題不恒等.
(4)不是因式分解，是整式乘法.
知識點3 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
即兩個數的平方差，等於這兩個數的和與這個數的差的積.
例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.
其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
即兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等於這兩個數的和(或差)的平方.
例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
**交流
下列變形是否正確？為什麼？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
點撥 (1)不正確，目前在有理數範圍內不能再分解.
(2)不正確，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能進行分解.
(3)不正確，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式進行分解，而且在有理數範圍內也不能分解.
知識點4 分組分解法
(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)
(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2
x+1)2-y2
x+y+1)(x-y+1).
把多項式進行適當的分組，分組後能夠有公因式或運用公式，這樣的因式分解方法叫做分組分解法.
知識規律小結 (1)分組分解法一般分組方式不惟一.
例如：將am+an+bm+bn因式分解，方法有兩種：
方法1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
方法2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).
(2)分組除具有嘗試性外，還要具有目的性，或者分組後能出現公因式，或者分組後能運用公式.
例如：am+an+bm+bn分組後有公因式；x2-y2+2x+1分組後能運用公式.
分組分解法是因式分解的基本方法，體現了化整體為區域性，又統攬全域性的思想，如何恰當分組是解題的關鍵，常見的分組方法有：
(1)按字母分組；
(2)按次數分組；
(3)按係數分組.
例如：把下列各式因式分解.
(1) am+bm+an+bn；
(2)x2-y2+x+y；
(3)2ax-5by+2ay-5bx.
知識點5 關於x2+(p+q)x+pq型二次三項式的因式分解
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
事實上：x2+(p+q)x+pq
=x2+px+qx+pq
=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q).
∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
利用這個公式，可以把二次三項式因式分解，當p=q時，這個式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以運用公式分解因式.
例如：把x2+3x+2分解因式.
(分析)因為二次三項式x2+3x+2的二次項係數是1，常數項2=1×2，一次項係數3=1+2，這是乙個x2+(p+q)x+pq型式子.
解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)
典例剖析師生互動
基礎知識應用題
本節基礎知識的應用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分組分解法分解因式；(2)會分解關於x2+(p+q)x+pq型的二次三項式.
例1 用提公因式法將下列各式因式分解.
(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；
(4)36aby-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；
(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
(分析) (1)～(4)題直接提取公因式分解即可，(5)題和(6)題首先要適當的變形，其中(5)題把b-a化成-(a-b)的，(6)題把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然後再提取公因式.
解：(1)ax-ay=a(x-y)
(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).
(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).
(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1).
(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).
(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)
=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)
=(m-x)(m-y)(x-m)
=-(m-x)2(m-y).
小結運用提公團式法分解因式時，要注意下列問題：
(1)因式分解的結果每個括號內如有同類項要合併，而且每個括號不能再分解.
如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)
=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]
=(x+y)(4m-6n).
=2(x+y)(2m-3n).
(2)如果出現像(5)(6)小題需統一時，首先統一，盡可能使統一的個數少，減少統一計算出現誤差的機率，這時注意到(a-b)n=(b-a)n(n為偶數).
例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.
本題既可以把(x-y)統一成(y-x)，也可以把(y-x)統一成(x-y),但比較而言把(x-y)化成(y-x)比較簡便，因為(x-y)2=(y-x)2.
a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2
=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2
=(y-x)2[a+b(y-x)+c]
=(y-x)2(a+by-bx+c).
(3)因式分解最後如果有同底數冪，要寫成積的形式.
例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]
=(a-2b)(8a-16b)
=8(a-2b)(a-2b)
=8(a-2b)2.
學生做一做把下列各式分解因式.
(1)am+an2)(xy+ay-by)；
(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)； (4)3x(a-b)-2y(b-a)；
(5)4p(1-q)3+2(q-1)26)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.
老師評一評 (1)原式=a(m+n2)原式=y(x+a-b)；
(3)原式=2(2a+b)24)原式=(a-b)(3x+2y)；
(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+26)原式=ab(x-y)m(b+ax-ay).
例2 把下列各式分解因式.
(1)m2+2m+12)9x2-12x+4；
(3)1-10x+25x24)(m+n)2-6(m+n)+9.
(分析)本題旨在考查用完全平方公式分解因式.
解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.
(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.
(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.
(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
學生做一做把下列各式分解因式.
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+12)(x+y)2-4(x+y-1).
老師評一評 (1)原式=(x2+3)22)原式=(x+y-2)2.
例3 把下列各式分解因式.
(1)x2+7x+102)x2-2x-8；
(3)y2-7y+104)x2+7x-18.
(分析) 二次三項式x2+7x+10的二次項係數為1，常數項10=2×5，一次項係數7=2+5，所以這是乙個x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)進行因式分解.
解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).
因式分解中考複習
1 考點 熱點回顧 一 因式分解的定義 1 把乙個式化為幾個整式的形式，叫做把乙個多項式因式分解。2 因式分解與整式乘法是運算，即 多項式整式的積 提醒 判斷乙個運算是否是因式分解或判斷因式分解是否正確，關鍵看等號右邊是否為的形式。二 因式分解常用方法 1 提公因式法 公因式 乙個多項式各項都有的因...
因式分解單元複習
因式分解 一 因式分解的相關概念 1 將乙個多項式化成的形式叫因式分解 2 因式分解與整式乘法是的變換 因式分解是否正確，可由整式乘法驗證 反之，整式乘法量否正確，也可由因式分解驗證 因式分解基本方法 二 1 提公因式法 1 多項式中因式叫做這個多項式的公因式 2 公因式的確定 當多項式的各項係數是...
因式分解小結與複習
主備人 楊樹華授課班級 138班 參與備課人 羅海建 唐思梁 吳小珍 楊煥良 分層目標 a層 能正確記憶公式，會正確運用公式進行簡單因式分解 b層 理解多項式中如果有公因式要先提公因式，了解實數範圍內與有理數範圍內分解因式的區別。c層 培養逆向思維與解決問題的能力。重點與難點 重點 記住公式 難點 ...